Cho hình vuông $ ABCD $ có độ dài bằng 1. Nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông $ ABCD $, ta được hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông thứ hai, ta được hình vuông thứ ba. Tiếp tục như thế ta nhận được một dãy các hình vuông. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau?

Question

Beedemy · Accepted Answer

a. Cạnh của hình vuông thứ hai là $ \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } $. Đúng. b. Cạnh của hình vuông thứ ba là $ 1 $. Sai. c. Tổng chu vi các hình vuông được tính theo công thức: $ S=u_{ 1 } +u_{ 2 } +u_{ 3 } +… $ với $ u_{ 1 } ,u_{ 2 } ,u_{ 3 } ,… $là cạnh các hình vuông. Sai. d. Tổng chu vi các hình vuông: $ S=8+4\sqrt[] { 2 } $ Đúng. Lời giải: a) Đúng vì cạnh hình vuông ban đầu là $ x $ thì theo định lí Pythagore, ta có cạnh hình vuông thứ hai là $ \sqrt[] { \left ( { \frac { x } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { x } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { x\sqrt[] { 2 } } { 2 }.(*) $ b) Sai vì gọi cạnh hình vuông $ ABCD $ là $ u_{ 1 } =1 $, từ $ (*) $ ta có cạnh hình vuông thứ hai là $ u_{ 2 } =\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } $, cạnh hình vuông thứ ba là $ u_{ 3 } =\frac { 1 } { 2 } $, cạnh hình vuông thứ tư là $ u_{ 4 } =\frac { \sqrt[] { 2 } } { 4 },… $ c) Sai vì Xét tổng chu vi dãy các hình vuông là: $ S=4u_{ 1 } +4u_{ 2 } +4u_{ 3 } +… $ d) Đúng vì $ S=4u_{ 1 } +4u_{ 2 } +4u_{ 3 } +…=4\left ( { 1+\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }+\frac { 1 } { 2 }+\frac { \sqrt[] { 2 } } { 4 }+… } \right ). $ Dễ thấy $ 1+\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }+\frac { 1 } { 2 }+\frac { \sqrt[] { 2 } } { 4 }+… $ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng 1, công bội bằng $ \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } $. Vậy ta có: $ S=4⋅\frac { u_{ 1 } } { 1-q }=4⋅\frac { 1 } { 1-\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } }=8+4\sqrt[] { 2 } $.

Cùng dạng: Quy tắc tính giới hạn dãy số (tổng, tích, thương)