Cho hình vuông $ A_{ 1 } B_{ 1 } C_{ 1 } D_{ 1 } $ có cạnh bằng 2024. Gọi $ A_{ k+1 } $, $ B_{ k+1 } $, $ C_{ k+1 } $, $ D_{ k+1 } $ thứ tự là trung điểm các cạnh $ A_{ k } B_{ k } $, $ B_{ k } C_{ k } $, $ C_{ k } D_{ k } $, $ D_{ k } A_{ k } $ (với $ k=1,\,\,2,\,\,...). $ Chu vi của hình vuông $ A_{ 2025 } B_{ 2025 } C_{ 2025 } D_{ 2025 } $ có dạng $ m.2 ^ { -1007 } . $ Tìm $ m. $

Hình vuông có cạnh bằng $ a $ thì có chu vi là $ 4a $. Hình vuông có các đỉnh là trung điểm của hình vuông ban đầu có cạnh bằng $ \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $ có chu vi là $ 2a\sqrt[] { 2 } $. Đường chéo của hình vuông $ A_{ 1 } B_{ 1 } C_{ 1 } D_{ 1 } $ có độ dài bằng $ a\sqrt[] { 2 } $ nên cạnh của hình vuông $ A_{ 2 } B_{ 2 } C_{ 2 } D_{ 2 } $ có độ dài bằng $ \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 }. $ Đường chéo của hình vuông $ A_{ 2 } B_{ 2 } C_{ 2 } D_{ 2 } $ có độ dài bằng $ 1 $ nên cạnh của hình vuông $ A_{ 3 } B_{ 3 } C_{ 3 } D_{ 3 } $ có độ dài bằng $ \frac { a } { 2 }. $ Cứ như thế độ dài các cạnh hình vuông tạo thành một cấp số nhân có $ u_{ 1 } =2024 $, công bội $ q=\frac { 1 } { \sqrt[] { 2 } } $ nên độ dài cạnh của hình vuông $ A_{ 2025 } B_{ 2025 } C_{ 2025 } D_{ 2025 } $ là: $ u_{ 2025 } =\frac { 2024 } { \left ( { \sqrt[] { 2 } } \right ) ^ { 2024 } } $nên chu vi hình vuông đó là: $ 4u_{ 2025 } =\frac { 4.2024 } { \left ( { \sqrt[] { 2 } } \right ) ^ { 2024 } }=253.2 ^ { -1007 } . $ Vậy $ m=253 $