Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình 2025) Quan sát hai mã cổ phiếu $ X $ và $ Y $. Người ta nhận thấy trong mỗi phiên giao dịch, nếu cổ phiếu $ Y $ không giảm thì cổ phiếu $ X $ giảm giá với xác suất $ \frac { 3 } { 5 } $. Ngược lại, nếu cổ phiếu $ X $ không giảm thì cổ phiếu $ Y $ giảm giá với xác suất $ \frac { 2 } { 3 }⋅ $ Hơn nữa, xác suất để cả hai cổ phiếu $ X $ và $ Y $ giảm giá trong cùng một ngày là $ \frac { 1 } { 10 }. $ Hỏi xác suất để có ít nhất một trong hai cổ phiếu giảm giá trong một phiên giao dịch là bao nhiêu?

Gọi $ X $ là biến cố: “Cổ phiếu $ X $ giảm giá trong phiên giao dịch”. Gọi $ Y $ là biến cố: “Cổ phiếu $ Y $ giảm giá trong phiên giao dịch”. Đặt $ P\left ( { X } \right )=x,\,\,P\left ( { Y } \right )=y $. Theo bài ra $ P\left ( { X\| \bar Y } \right )=\frac { 3 } { 5 },\,\,P\left ( { Y\| \bar X } \right )=\frac { 2 } { 3 },\,\,P\left ( { X∩Y } \right )=\frac { 1 } { 10 } $. Ta có $ \frac { 1 } { 10 }=P\left ( { X∩Y } \right )=P\left ( { X } \right )⋅P\left ( { Y\|X } \right )=P\left ( { Y } \right )⋅P\left ( { X\|Y } \right ) $. Lại có $ P\left ( { X } \right )=P\left ( { Y } \right )⋅P\left ( { X\|Y } \right )+P\left ( { \bar Y } \right )⋅P\left ( { X\| \bar Y } \right )⇔x=\frac { 1 } { 10 }+\left ( { 1-y } \right )⋅\frac { 3 } { 5 } $(1) và $ P\left ( { Y } \right )=P\left ( { X } \right )⋅P\left ( { Y\|X } \right )+P\left ( { \bar X } \right )⋅P\left ( { Y\| \bar X } \right )⇔y=\frac { 1 } { 10 }+\left ( { 1-x } \right )⋅\frac { 2 } { 3 } $(2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $ \left \{ \begin{array}{l} 10x+6y=7 \\ 20x+30y=23 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x=\frac { 2 } { 5 } \\ y=\frac { 1 } { 2 }. \end{array} \right. $ Xác suất có ít nhất một trong hai cổ phiếu giảm giá trong phiên giao dịch là $ P\left ( { X∪Y } \right )=P\left ( { X } \right )+P\left ( { Y } \right )-P\left ( { X∩Y } \right )=\frac { 2 } { 5 }+\frac { 1 } { 2 }-\frac { 1 } { 10 }=\frac { 8 } { 10 }=0,8. $