(Sở Đà Nẵng 2025) Một nghiên cứu tại một trường đại học cho biết tỉ lệ sinh viên dùng cà phê để duy trì tỉnh táo khi học vào ban đêm là $ 70\% $. Giả sử chọn ngẫu nhiên $ 3 $ sinh viên từ nhóm khảo sát trên để phỏng vấn.

 Xác suất thành công (sinh viên dùng cà phê): $ p=70\%=0,7 $  Xác suất thất bại (sinh viên không dùng cà phê): $ q=1-0,7=0,3 $ Gọi $ X $là số sinh viên dùng cà phê trong $ 3 $ sinh viên được chọn. $ X $tuân theo phân phối nhị thức $ B\left ( { n=3,p=0,7 } \right ) $. Công thức tính xác suất để có $ k $thành công trong $ n $ lần thử là: $ P\left ( { X=k } \right )=C_{ n } ^{ k }.p ^ { k } .q ^ { n-k } $ a) Đúng. Xác suất để cả $ 3 $ sinh viên đều dùng cà phê để duy trì tỉnh táo là Trường hợp này tương ứng với $ X=3 $. Áp dụng công thức: $ P\left ( { X=3 } \right )=C_{ 3 } ^{ 3 }.p ^ { 3 } .q ^ { 3-3 } =1.0,7 ^ { 3 } .0,3 ^ { 0 } =0,343 $ b) Đúng. Xác suất trong $ 3 $ sinh viên có ít nhất $ 1 $ sinh viên không dùng cà phê "Ít nhất 1 sinh viên không dùng cà phê" có nghĩa là số sinh viên không dùng cà phê có thể là 1, 2 hoặc 3. Biến cố "ít nhất $ 1 $ sinh viên không dùng cà phê" là biến cố đối của "cả $ 3 $ sinh viên đều dùng cà phê". $ P=1-0,343=0,657 $ c) Đúng. Xác suất trong $ 3 $ sinh viên có đúng $ 1 $ sinh viên dùng cà phê Trường hợp này tương ứng với $ X=1 $. Áp dụng công thức: $ P\left ( { X=1 } \right )=C_{ 3 } ^{ 1 }.p ^ { 1 } .q ^ { 3-1 } =3.0,7 ^ { 1 } .0,3 ^ { 2 } =0,189 $ d) Sai. Xác suất trong $ 3 $ sinh viên có đúng $ 2 $sinh viên dùng cà phê và $ 1 $ sinh viên không dùng cà phê. Trường hợp này tương ứng với $ X=2 $. Áp dụng công thức: $ P\left ( { X=2 } \right )=C_{ 3 } ^{ 2 }.p ^ { 2 } .q ^ { 3-2 } =3.0,7 ^ { 2 } .0,3 ^ { 1 } =0,441 < 0,45 $