Phương trình $\log_{3} \left| x^{2} - 5x \right| = \log_{5} \left( x^{2} - 5x + 2 \right)$ có bốn nghiệm $x = \frac{a \pm \sqrt{b}}{c}, x = \frac{a \pm \sqrt{d}}{c}$ trong đó $a, b, c, d$ là các số nguyên dương, $a$ và $c$ là số nguyên tố. Tính giá trị của biểu thức $P = a + b + c + d$.

Lời giải Xét phương trình $\log_{3} \left| x^{2} - 5x \right| = \log_{5} \left( x^{2} - 5x + 2 \right)$. Điều kiện: $x^{2} - 5x \neq 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq 5 \end{cases}$. Đặt $\log_{3} \left| x^{2} - 5x \right| = \log_{5} \left( x^{2} - 5x + 2 \right) = t$, ta có hệ phương trình: $$ \begin{cases} \left| x^{2} - 5x \right| = 3^{t} \quad (1) \\ x^{2} - 5x + 2 = 5^{t} \quad (2) \end{cases} $$ Từ $(2)$ thay vào $(1)$ ta được: $\left| 5^{t} - 2 \right| = 3^{t}$. Trường hợp 1: Xét $5^{t} - 2 = 3^{t} \Leftrightarrow 5^{t} = 3^{t} + 2 \Leftrightarrow 1 = \left( \frac{3}{5} \right)^{t} + 2\left( \frac{1}{5} \right)^{t} \quad (3)$. Khi $t > 1$ thì $\left( \frac{3}{5} \right)^{t} < \frac{3}{5}$ và $\left( \frac{1}{5} \right)^{t} < \frac{1}{5} \Rightarrow \left( \frac{3}{5} \right)^{t} + 2\left( \frac{1}{5} \right)^{t} < 1$. Khi $t < 1$ thì $\left( \frac{3}{5} \right)^{t} > \frac{3}{5}$ và $ \left ( { \frac { 1 } { 5 } } \right ) ^ { t } >\frac { 1 } { 5 } $ $ ⇒\left ( { \frac { 3 } { 5 } } \right ) ^ { t } +2\left ( { \frac { 1 } { 5 } } \right ) ^ { t } >1. $ Do đó $ t=1 $ là nghiệm duy nhất của (3). Với $ t=1 $, ta có: $ x ^ { 2 } -5x=3⇔x ^ { 2 } -5x-3=0⇔\left[\begin{array}{l} x=\frac { 5+\sqrt[] { 37 } } { 2 } \\ x=\frac { 5-\sqrt[] { 37 } } { 2 } \end{array}\right.(tm) $. Trường hợp 2: Xét $ 5 ^ { t } -2=-3 ^ { t } $ $ ⇔5 ^ { t } =2-3 ^ { t } $$ ⇔5 ^ { t } +3 ^ { t } =2 $ (4) Tương tự như trường hợp 1, ta có $ t=0 $ là nghiệm duy nhất của (4) Với $ t=0 $, ta có: $ x ^ { 2 } -5x=-1⇔x ^ { 2 } -5x+1=0⇔\left[\begin{array}{l} x=\frac { 5+\sqrt[] { 21 } } { 2 } \\ x=\frac { 5-\sqrt[] { 21 } } { 2 } \end{array}\right.{ \rm{ } }\left ( { tm } \right ) $ Vậy phương trình có bốn nghiệm là $ x=\frac { 5±\sqrt[] { 37 } } { 2 },x=\frac { 5±\sqrt[] { 21 } } { 2 } $ Suy ra $ a=5,b=37,c=2,d=21 $ hoặc $ a=5,b=21,c=2,d=37 $ Do đó $ P=5+37+2+21=65 $.