Cho hàm số $ y=x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } $ có đồ thị $ \left ( { C } \right ) $. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau?

a) Sai. Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị $ \left ( { C } \right ) $ và trục hoành là: $ x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } =0⇔\left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=-3 \end{array} \right. $ Trên $ \left[ -2;0 \right] $ thì $ x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } $ không đổi dấu. Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $ \left ( { C } \right ) $, trục hoành, trục tung và đường thẳng $ x=-2 $ là: $ \int_{ -2 }^{ 0 } \left | { x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } } \right |dx=\left | { \int_{ -2 }^{ 0 } \left ( { x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } } \right )dx } \right |=\left | { \left. { \left ( { \frac { x ^ { 4 } } { 4 }+x ^ { 3 } } \right ) } \right|_{ -2 }^{ 0 } } \right |=4 $. b) Đúng. Phương trình hoành độ giao điểm: $ x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } =x+3⇔x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } -x-3=0⇔\left[ \begin{array}{l} x=1∉\left ( { -3;0 } \right ) \\ x=-1 \\ x=-3 \end{array} \right. $ Với $ x\in \left ( { -3;-1 } \right ) $ thì $ x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } -x-3>0; $ với $ x\in \left ( { -1;0 } \right ) $ thì $ x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } -x-3 < 0; $ Diện tích cần tìm được xác định bởi công thức $ S=\int_{ -3 }^{ 0 } \left | { x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } -x-3 } \right |dx=\int_{ -3 }^{ -1 } \left ( { x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } -x-3 } \right )dx+\int_{ -1 }^{ 0 } \left ( { -x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } +x+3 } \right )dx $. c) Sai. Thể tích $ V $ của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y=x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } $, trục hoành xung quanh trục $ Ox $ là $ V=\pi \int_{ -3 }^{ 0 } \left ( { x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } dx=\frac { 729 } { 35 }\pi $. d) Đúng. Phương trình hoành độ giao điểm: $ x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } =m ^ { 2 } x+5⇔x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } -m ^ { 2 } x-5=0 $ Xét hàm số $ y=x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } -m ^ { 2 } x-5 $ trên $ \left[ 0;1 \right] $. Ta có $ y'=3x ^ { 2 } +6x-m ^ { 2 } $ $ y'=0⇔\left[\begin{array}{l} x_{ 1 } =\frac { -3-\sqrt[] { 3m ^ { 2 } +9 } } { 3 }=-1-\frac { \sqrt[] { 3m ^ { 2 } +9 } } { 3 } \\ x_{ 2 } =\frac { -3+\sqrt[] { 3m ^ { 2 } +9 } } { 3 }=-1+\frac { \sqrt[] { 3m ^ { 2 } +9 } } { 3 } \end{array}\right. $. Vì $ m\in \left ( { -1;1 } \right ) $ nên $ 3 < \sqrt[] { 3m ^ { 2 } +9 } < \sqrt[] { 12 }{ \rm{ } } $. Suy ra $ x_{ 1 } =-1-\frac { \sqrt[] { 3m ^ { 2 } +9 } } { 3 } < -2 $ và $ 0 < x_{ 2 } =-1+\frac { \sqrt[] { 3m ^ { 2 } +9 } } { 3 } < \frac { \sqrt[] { 12 } } { 3 }-1 $ Ta có: $ y\left ( { 0 } \right )=-5 < 0,{ \rm{ } }y\left ( { 1 } \right )=-m ^ { 2 } -1 < 0 $ Ta có bảng biến thiên trong $ \left[ { \rm{ 0;1 } } \right] $ x 0 $ -3+\sqrt[] { 3m ^ { 2 } +9 } $ 1 y 0 y $ { \rm{ y } }\left ( { { \rm{ 0 } } } \right ) $ $ { \rm{ y } }\left ( { 1 } \right ) $ Dựa vào BBT suy ra $ y < 0,{ \rm{ } }∀x\in \left[ 0;1 \right] $ Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $ y=x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } $, $ y=m ^ { 2 } x+5 $ và 2 đường thẳng $ x=0,{ \rm{ } }x=1 $ có diện tích bằng 4 nên ta có: $ \int_{ 0 }^{ 1 } \left | { x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } -m ^ { 2 } x-5 } \right |dx=4 $ $ ⇔-\int_{ 0 }^{ 1 } \left ( { x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } -m ^ { 2 } x-5 } \right )dx=4⇔\frac { m ^ { 2 } } { 2 }+\frac { 15 } { 4 }=4⇔m=\pm \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } $. Vậy có hai giá trị $ m\in \left ( { -1;1 } \right ) $ thỏa yêu cầu bài toán.