Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $, cho ba điểm $ A(-1;1),B(2;1),C(-1;-3) $.

a) Đúng. Ta có $ \overset\rightarrow { AB }=(3;0),\overset\rightarrow { AC }=(0;-4) $. Xét số thực $ k $ thỏa mãn $ \overset\rightarrow { AB }=k\overset\rightarrow { AC }⇒\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 3=k.0 \\ 0=k(-4) \\ \end{array} \end{array} \right. $ (vô lí). Do vậy không tồn tại số $ k $ thỏa mãn $ \overset\rightarrow { AB }=k\overset\rightarrow { AC } $ hay hai vectơ $ \overset\rightarrow { AB },\overset\rightarrow { AC } $ không cùng phương; suy ra ba điểm $ A $, $ B,C $ không thẳng hàng. Vậy $ A,B,C $ là ba đỉnh của một tam giác. b) Sai. Ta có: $ AB=\sqrt[] { 3 ^ { 2 } +0 ^ { 2 } }=3,AC=\sqrt[] { 0 ^ { 2 } +(-4) ^ { 2 } }=4,\overset\rightarrow { BC }=(-3;-4) $, $ BC=\sqrt[] { 3 ^ { 2 } +4 ^ { 2 } }=5 $. Dễ thấy $ AB ^ { 2 } +AC ^ { 2 } =BC ^ { 2 } $ nên $ ΔABC $ vuông tại $ A $. Diện tích tam giác là: $ S_{ ΔABC } =\frac { 1 } { 2 }AB⋅AC=\frac { 1 } { 2 }⋅3⋅4=6 $. c) Đúng. Gọi $ D(x;y)⇒\overset\rightarrow { DC }=(-1-x;-3-y),\overset\rightarrow { AB }=(3;0) $. $ ABCD $ là hình bình hành $ ⇔\overset\rightarrow { AB }=\overset\rightarrow { DC }⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} -1-x=3 \\ -3-y=0 \\ \end{array} ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=-4 \\ y=-3 \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. $ $ ⇒D(-4;-3) $ d) Đúng. Gọi $ N(0;y)⇒\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} BN ^ { 2 } =(0-2) ^ { 2 } +(y-1) ^ { 2 } \\ CN ^ { 2 } =(0+1) ^ { 2 } +(y+3) ^ { 2 } \\ \end{array} \end{array} \right. $. $ N $ cách đều $ B $ và $ C⇔BN=CN⇔BN ^ { 2 } =CN ^ { 2 } $ $ ⇔2 ^ { 2 } +(y-1) ^ { 2 } =1 ^ { 2 } +(y+3) ^ { 2 } ⇔y ^ { 2 } -2y+5=y ^ { 2 } +6y+10⇔y=-\frac { 5 } { 8 } $ $ ⇒N\left ( { 0;-\frac { 5 } { 8 } } \right ) $