Cho tam giác $ABC$ có $M, N, P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC, CA, AB$. Biết $M(1; 2), N(3; 8), P(2; -4)$. Biết tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là $(a; b)$. Tính giá trị của biểu thức $P = a + 2b$.

Đặt $D$ là giao điểm của $BN$ với $PM$. Ta có: $MP$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, suy ra $MP \parallel AC$ hay $MD \parallel NC$, từ đó có $D$ là trung điểm của $BN$, hay $DN = \frac{1}{2}BN$, mà $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $GN = \frac{1}{3}BN$, từ đó $\frac{GN}{DN} = \frac{2}{3}$. Mặt khác theo định lý Thales thì $\frac{DM}{NC} = \frac{BD}{BN} = \frac{DP}{NA}$ mà $NA = NC$ nên $DM = DP$. Vậy $G$ cũng là trọng tâm của tam giác $MNP$. Do đó $G(2; 2)$, suy ra $a + 2b = 6$.