Giới hạn của hàm số $ \lim\limits_{ x→+∞ } \left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } +x+2 }-\sqrt[] { x ^ { 2 } +2x } } \right )=\frac { a } { b } $ với $ a,b∈\mathbb{Z} $ và $ \frac { a } { b } $ phân số tối giản. Khi đó giá trị của biểu thức $ 2a+b $ là bao nhiêu?

$ \lim\limits_{ x→+∞ } \left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } +x+2 }-\sqrt[] { x ^ { 2 } +2x } } \right ) $ $ =\lim\limits_{ x→+∞ } \frac { \left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } +x+2 }-\sqrt[] { x ^ { 2 } +2x } } \right )\left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } +x+2 }+\sqrt[] { x ^ { 2 } +2x } } \right ) } { \left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } +x+2 }+\sqrt[] { x ^ { 2 } +2x } } \right ) } $ $ =\lim\limits_{ x→+∞ } \frac { 2-x } { \left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } +x+2 }+\sqrt[] { x ^ { 2 } +2x } } \right ) } $ $ =\lim\limits_{ x→+∞ } \frac { \frac { 2 } { x }-1 } { \left ( { \sqrt[] { 1+\frac { 1 } { x }+\frac { 2 } { x ^ { 2 } } }+\sqrt[] { 1+\frac { 2 } { x } } } \right ) } $ $ =-\frac { 1 } { 2 } $.