Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau

a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai Lời giải a) Ta có: $$ n^{2} - 2n = n^{2} \Big(1 - \frac{2}{n}\Big) $$ Hơn nữa $\lim n^{2} = +\infty$ và $\lim \Big(1 - \frac{2}{n}\Big) = 1 > 0$. Do đó, $\lim \Big(n^{2} - 2n\Big) = +\infty$. b) Ta có: $$ \lim \Big(2n + \frac{3n + 1}{n + 3}\Big) = \lim \left[ n\Big(2 + \frac{1}{n} \cdot \frac{3 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{3}{n}}\Big) \right] $$ Do $\lim n = +\infty$ và $\lim \Big(2 + \frac{1}{n} \cdot \frac{3 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{3}{n}}\Big) = 2$. Vậy $\lim \Big(2n + \frac{3n + 1}{n + 3}\Big) = +\infty$. c) Ta có: $$ \lim \Big(5n - 3(a^{2} - 2)n^{3}\Big) = \lim n^{3} \Big(\frac{5}{n^{2}} - 3(a^{2} - 2)\Big) = -\infty $$ $$ \Leftrightarrow \lim \Big(\frac{5}{n^{2}} - 3(a^{2} - 2)\Big) = -3(a^{2} - 2) < 0 \Leftrightarrow a^{2} - 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a < -\sqrt{2} \\ a > \sqrt{2} \end{array} \right. $$ Vậy $a \in \{-9; -8; \dots; -2; 2; 3; \dots; 8; 9\} \Rightarrow$ có $16$ giá trị nguyên của $a$. d) Ta có: $$ 1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3} = \Big(1 + 2 + \dots + n\Big)^{2} = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2} $$ Đặt $u_{n} = \frac{(n^{2}+1)\sqrt{1^{3}+2^{3}+\dots+n^{3}}}{3n^{3}+n+2} = \frac{n(n+1)(n^{2}+1)}{2(3n^{3}+n+2)}$. $$ \lim u_{n} = \lim \frac{n(n+1)(n^{2}+1)}{2(3n^{3}+n+2)} = \lim \frac{n\Big(\frac{n+1}{n}\Big)\Big(\frac{n^{2}+1}{n^{2}}\Big)}{2\Big(\frac{3n^{3}+n+2}{n^{3}}\Big)} = +\infty $$ Vậy $\lim u_{n} = +\infty \neq \frac{1}{3}$.