Cho lăng trụ đứng $ ABC.A'B'C' $. Tam giác $ ABC $ vuông cân tại $ A $, $ AB=a $. Cạnh bên $ AA'=2a $. Gọi $ M $ và $ N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ AB $ và $ AC $. $ M' $ và $ N' $ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $ M $ và $ N $ trên các cạnh $ A'B' $, $ A'C' $.

Question

Beedemy · Accepted Answer

a. $ V_{ ABC.A'B'C' } =a ^ { 3 } $. Đúng. b. $ V_{ AMN.A'M'N' } =\frac { a ^ { 3 } } { 4 } $. Đúng. c. $ V_{ BCNM.B'C'N'M' } =\frac { 1 } { 2 }V_{ ABC.A'B'C' } $. Sai. d. Gọi $ P $ là điểm thỏa mãn $ \overset\rightarrow { PB }=k\overset\rightarrow { PC } $ ($ k < 0 $) và $ P' $ là hình chiếu vuông góc của $ P $ trên $ B'C' $. Khi đó thể tích khối lăng trụ $ MNP.M'N'P' $ không phụ thuộc vào vị trí điểm $ P $. Đúng. Lời giải: a) Đúng. $ V_{ ABC.A'B'C' } =AA'.S_{ ABC } =AA'.\frac { 1 } { 2 }.AB.AC =2a.\frac { 1 } { 2 }.a.a=a ^ { 3 } $. b) Đúng. $ V_{ AMN.A'M'N' } =AA'.S_{ AMN } =AA'.\frac { 1 } { 2 }.AM.AN =2a.\frac { 1 } { 2 }.\frac { a } { 2 }.\frac { a } { 2 }=\frac { a ^ { 3 } } { 4 } $. c) Sai. Ta có: $ V_{ BCNM.B'C'N'M' } =V_{ ABC.A'B'C' } -V_{ AMN.A'M'N' } =a ^ { 3 } -\frac { a ^ { 3 } } { 4 }=\frac { 3a ^ { 3 } } { 4 } $. Vậy $ V_{ BCNM.B'C'N'M' } =\frac { 3 } { 4 }V_{ ABC.A'B'C' } $. d) Đúng. $ \overset\rightarrow { PB }=k\overset\rightarrow { PC } $ ($ k < 0 $) suy ra $ P $ là một điểm thuộc cạnh $ BC $. Khi đó $ MNP.M'N'P' $ là lăng trụ đứng có đáy là tam giác $ MNP $ và chiều cao $ MM'=AA'=2a $. Vì $ MN $ là đường trung bình trong tam giác $ ABC ⇒d\left ( { P,MN } \right )=d\left ( { A,MN } \right ) $. Suy ra $ S_{ MNP } =\frac { 1 } { 2 }.MN.d\left ( { P,MN } \right ) =\frac { 1 } { 2 }.MN.d\left ( { A,MN } \right )=S_{ AMN } $

Cùng dạng: Thể tích lăng trụ V = S đáy · h (bao gồm khối hộp, khối hộp chữ nhật, khối lập phương)