Cho phương trình $x^2 + y^2 + 2(2 - m)x - 2(1 + m)y + 3m^2 + 2m = 0$. Có bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình đã cho là phương trình đường tròn?

Lời giải Xét phương trình đã cho có dạng tổng quát với các hệ số tương ứng: $a = -(2 - m) = m - 2$ $b = 1 + m$ $c = 3m^2 + 2m$ Điều kiện để phương trình trên là phương trình của một đường tròn là $a^2 + b^2 - c > 0$, tức là: $(m - 2)^2 + (1 + m)^2 - (3m^2 + 2m) > 0$ $\Leftrightarrow (m^2 - 4m + 4) + (m^2 + 2m + 1) - 3m^2 - 2m > 0$ $\Leftrightarrow -m^2 - 4m + 5 > 0$ $\Leftrightarrow -5 < m < 1$ Vì $m$ là số nguyên nên $m \in \{-4; -3; -2; -1; 0\}$. Vậy có tổng cộng 5 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.