Giá trị nguyên dương của tham số $m$ để phương trình: $x^2 + y^2 - 2mx - 4(m - 2)y + 6 - m = 0 \quad (1)$ là phương trình của một đường tròn có bán kính bằng $\sqrt{10}$ bằng……

Lời giải Xét phương trình $(1): x^2 + y^2 - 2mx - 4(m - 2)y + 6 - m = 0$. Các hệ số tương ứng là: $a = m$, $b = 2(m - 2)$, $c = 6 - m$. Điều kiện để phương trình $(1)$ là phương trình của một đường tròn là $a^2 + b^2 - c > 0$: $\Leftrightarrow m^2 + [2(m - 2)]^2 - (6 - m) > 0$ $\Leftrightarrow m^2 + 4(m^2 - 4m + 4) - 6 + m > 0$ $\Leftrightarrow 5m^2 - 15m + 10 > 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m > 2 \\\\ m < 1 \end{array}\right.$ Khi đó, bán kính của đường tròn được xác định bởi công thức: $R = \sqrt{a^2 + b^2 - c} = \sqrt{5m^2 - 15m + 10}$ Theo giả thiết bài ra, đường tròn có bán kính $R = \sqrt{10}$, do đó: $\sqrt{5m^2 - 15m + 10} = \sqrt{10}$ $\Leftrightarrow 5m^2 - 15m + 10 = 10$ $\Leftrightarrow 5m^2 - 15m = 0$ $\Leftrightarrow 5m(m - 3) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m = 0 \\\\ m = 3 \end{array}\right.$ Kết hợp với điều kiện để là phương trình đường tròn: - Với $m = 0$: thỏa mãn điều kiện $m < 1$. - Với $m = 3$: thỏa mãn điều kiện $m > 2$. Do đề bài yêu cầu $m$ nguyên dương nên ta nhận $m = 3$ (loại $m = 0$ vì không phải số nguyên dương). Vậy $m = 3$.