Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $, cho hai điểm $ A\left ( { 1;3 } \right ) $;$ B\left ( { -1;2 } \right ) $. Điểm $ M\left ( { x;y } \right ) $ thuộc tia $ AB $ sao cho $ AM=\sqrt[] { 80 } $. Giá trị của $ x+y $bằng bao nhiêu?

Ta có $ \overset\rightarrow { AB }\left ( { -2;-1 } \right ) $; $ \overset\rightarrow { AM }\left ( { x-1;y-3 } \right ) $ Vì $ M $thuộc tia $ AB $nên hai vecto $ \overset\rightarrow { AB } $và $ \overset\rightarrow { AM } $ cùng hướng hay $ \overset\rightarrow { AM }=k\overset\rightarrow { AB\, }\,\,\left ( { k>0 } \right ) $ $ \frac { x-1 } { -2 }=\frac { y-3 } { -1 }=k⇔x=2y-5\,\,\left ( { 1 } \right ) $. Mặt khác $ AM=\sqrt[] { 80 }⇔\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-3 } \right ) ^ { 2 } =80\,\,\left ( { 2 } \right ) $. Thế $ \left ( { 1 } \right ) $ vào $ \left ( { 2 } \right ) $ ta được: $ \left ( { 2y-6 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-3 } \right ) ^ { 2 } =80\,⇔5y ^ { 2 } -30y-35=0⇔\left[ \begin{array}{l} y=-1 \\ y=7 \end{array} \right. $ - Với $ y=-1 $, ta có $ x=-7 $. Khi đó $ k=4 $(thỏa mãn). - Với $ y=7 $, ta có $ x=9 $. Khi đó $ k=-4 $(loại). Vậy điểm $ M\left ( { x;y } \right ) $ là $ M\left ( { -7;-1 } \right ) $ với $ x+y=-8 $.