Trong mặt phẳng $ Oxy $, cho điểm $ A\left ( { 4\,;\,0 } \right );B\left ( { 8;3 } \right );C\left ( { 4;1 } \right ). $

Lời giải a) Đúng. $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { 4;3 } \right ),\overset\rightarrow { AC }=\left ( { 0;1 } \right ) $, do $ \frac { 0 } { 4 }≠\frac { 1 } { 3 } $ nên $ \overset\rightarrow { AB },\overset\rightarrow { AC } $ không cùng phương, tức ba điểm $ A,B,C $ không thẳng hàng. b) Sai. Do tứ giác $ ACBD $ là hình bình hành nên $ \overset\rightarrow { AC }=\overset\rightarrow { DB }=\left ( { 0;1 } \right ) $, khi đó $ D\left ( { 8;2 } \right ). $ c) Đúng. Ta có $ AB=5 $ và $ AC=1. $ Theo tính chất đường phân giác thì $ \frac { EB } { EC }=\frac { AB } { AC }=5⇒\overset\rightarrow { EB }=-5\overset\rightarrow { EC }. $ Khi đó $ \left \{ \begin{array}{l} x_{ B } -x_{ E } =-5\left ( { x_{ C } -x_{ E } } \right ) \\ y_{ B } -y_{ E } =-5\left ( { y_{ C } -y_{ E } } \right ) \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x_{ E } =\frac { 5x_{ C } +x_{ B } } { 6 } \\ y_{ E } =\frac { 5y_{ C } +y_{ B } } { 6 } \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x_{ E } =\frac { 14 } { 3 } \\ y_{ E } =\frac { 4 } { 3 } \end{array} \right. $ d) Đúng. Gọi $ H $ là điểm thỏa $ 2\overset\rightarrow { HA }+\overset\rightarrow { HB }+\overset\rightarrow { HC }=\overset\rightarrow { 0 }, $ khi đó $ H\left ( { 5;1 } \right ). $ Ta có $ \left | { 2\overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { IB }+\overset\rightarrow { IC } } \right |=\left | { 4\overset\rightarrow { IH }+2\overset\rightarrow { HA }+\overset\rightarrow { HB }+\overset\rightarrow { HC } } \right |=\left | { 4\overset\rightarrow { IH } } \right |=4IH. $ Gọi $ I\left ( { a;b } \right ) $, ta có $ \overset\rightarrow { AI }=\left ( { a-4;b } \right ) $, do $ I∈AB $ nên $ \overset\rightarrow { AB },\overset\rightarrow { AI } $ cùng phương nên $ \frac { a-4 } { 4 }=\frac { b } { 3 }=t⇔\left \{ \begin{array}{l} a=4t+4 \\ b=3t \end{array} \right.,t∈\mathbb{R}. $ Khi đó $ IH=\sqrt[] { \left ( { 4t-1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 3t-1 } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 25t ^ { 2 } -14t+2 }=\sqrt[] { \left ( { 5t-\frac { 7 } { 5 } } \right ) ^ { 2 } +\frac { 1 } { 25 } }≥\frac { 1 } { 5 } $ Khi đó $ t=\frac { 7 } { 25 } $, $ I\left ( { \frac { 128 } { 25 };\frac { 21 } { 25 } } \right ). $