Cho tứ diện $ABCD$. Trên các cạnh $AB$, $AC$, $BD$ lần lượt lấy ba điểm $E$, $F$, $G$ sao cho $AB = 3AE$; $AC = 2AF$; $GB = 4GD$.

a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai Lời giải a) Ta có: $$ \begin{cases} E \in (EFG), \quad E \in (ABC) \\ F \in (EFG), \quad F \in (ABC) \end{cases} \Rightarrow (EFG) \cap (ABC) = EF $$ Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $(EFG)$ và $(ABC)$ là đường thẳng $EF$. b) Trong mặt phẳng $(ABC)$, kéo dài $BC$ và $EF$ cắt nhau tại $M$. Ta có: $$ \begin{cases} M \in EF \subset (EFG) \\ M \in BC \end{cases} \Rightarrow M = BC \cap (EFG) $$ Vậy giao điểm của đường thẳng $BC$ và mặt phẳng $(EFG)$ là điểm $M$. c) Chọn mặt phẳng $(BCD)$ chứa $CD$. Ta có $G \in (EFG)$, $G \in BD \subset (BCD) \Rightarrow G$ là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng $(BCD)$ và $(EFG)$. $M \in EF \subset (EFG)$, $M \in BC \subset (BCD) \Rightarrow M$ là điểm chung thứ hai. Suy ra: $$ MG = (EFG) \cap (BCD) $$ Gọi $H$ là giao điểm của $CD$ và $MG \Rightarrow H$ là giao điểm của $CD$ với $(EFG)$ và 3 điểm $H, G, M$ thẳng hàng. d) Trong mặt phẳng $(ABD)$, kéo dài $EG$ và $AD$ cắt nhau tại $I$. Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $ABD$ với cát tuyến $E, G, I$, ta có: $$ \frac{IA}{ID} \cdot \frac{DG}{GB} \cdot \frac{BE}{EA} = 1 $$ Mà $\dfrac{DG}{GB} = \dfrac{1}{4}$ (do $GB = 4GD$) và $\dfrac{BE}{EA} = 2$ (do $AB = 3AE$ nên $BE = 2AE$). Suy ra $\dfrac{IA}{ID} = \dfrac{1}{\frac{1}{4} \cdot 2} = 2$. Vậy $\dfrac{IA}{ID} = 2 \neq \dfrac{7}{3}$ nên khẳng định d) sai.