Cho hình chóp $ S.ABC. $ Gọi $ M,\,N $ lần lượt là trung điểm của $ SA $ và $ BC $. $ P $ là điểm nằm trên cạnh $ AB $ sao cho $ \frac { AP } { AB }=\frac { 1 } { 3 }. $ Gọi $ Q $ là giao điểm của $ SC $ với mặt phẳng $ \left ( { MNP } \right ). $ Biết tỉ số $ \frac { SQ } { SC }=\frac { a } { b } $( là phân số tối giản, $ a,b∈\mathbb{N} ^ { * } $). Tính tổng $ S=a+b $.

Trong mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $. Gọi $ E=AC∩PN $. Khi đó $ Q=SC∩EM. $ Áp dụng định lí Menelaus vào tam giác $ ABC $ ta có $ \frac { AP } { PB }.\frac { BN } { NC }.\frac { CE } { E{ \rm{ A } } }=1 ⇒\frac { CE } { E{ \rm{ A } } }=2. $ Áp dụng định lí Menelaus vào tam giác $ SAC $ ta có $ \frac { AM } { MS }.\frac { SQ } { QC }.\frac { CE } { E{ \rm{ A } } }=1 ⇒\frac { SQ } { QC }=\frac { 1 } { 2 } ⇒\frac { SQ } { SC }=\frac { 1 } { 3 }. $ Suy ra $ a=1,\,b=3⇒S=a+b=4. $