Ông Bình có một khu vườn hình vuông diện tích $ 100m ^ { 2 } $. Ông muốn chia làm 3 phần, phần hai đường tròn tâm $ B $ và $ C $ dùng trồng hoa, phần tô đậm dùng để trồng cỏ, phần còn lại lát gạch (như hình vẽ). Biết mỗi mét vuông trồng cỏ chi phí $ 100 $ nghìn đồng, mỗi mét vuông trồng hoa chi phí $ 1 $ triệu đồng, mỗi mét vuông lát gạch chi phí $ 300 $ nghìn đồng. Khi diện tích phần trồng hoa là nhỏ nhất thì tổng chi phí thi công vườn bằng.........(triệu đồng), (kết quả làm tròn đến phần mười).

Lời giải Trả lời: 49,6 Gọi $ x,y\,\left ( { m } \right ) $ lần lượt là bán kính của hai đường tròn tâm $ B $ và $ C $, ta có $ x+y=5. $ Gọi $ S\,\left ( { m ^ { 2 } } \right ) $ là phần diện tích của phần trồng hoa, ta có $ S=πx ^ { 2 } +πy ^ { 2 } =π\left ( { x ^ { 2 } +y ^ { 2 } } \right ) ⇔x ^ { 2 } +y ^ { 2 } =\frac { S } { π }. $ Trong mặt phẳng toạ độ $ Oxy $, xét đường tròn $ \left ( { C } \right ):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } =\frac { S } { π } $ có tâm $ O\left ( { 0\,;\,0 } \right ), $ bán kính $ R=\sqrt[] { \frac { S } { π } } $ và đường thẳng $ Δ:x+y-5=0. $ Khi đó bài toán trở thành: Tìm $ R $ nhỏ nhất để $ \left ( { C } \right ) $ và $ Δ $ có ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương. Ta có $ \left ( { C } \right ) $ và $ Δ $ có ít nhất một điểm chung$ ⇔R≥d\left ( { O,Δ } \right )⇔\sqrt[] { \frac { S } { π } }≥\frac { 5 } { \sqrt[] { 2 } }⇔S≥\frac { 25π } { 2 } $. Vậy diện tích phần trồng hoa nhỏ nhất bằng $ S_{ \min } =\frac { 25π } { 2 }. $ Từ đó chi phí để thi công khu vườn là $ 100.\left ( { 25π-\frac { 25π } { 2 } } \right )+1000.\frac { 25π } { 2 }+300.\left ( { 100-25π } \right )≈49635 $ (nghìn đồng) Vậy tổng chi phí để thi công khu vườn là: $ 49,6 $(triệu đồng)