Trong mặt phẳng toạ độ $ Oxy $, cho hai điểm $ A(-1\ ;\ 2),B(5\ ;\ -4) $ và điểm $ M $ nằm trên trục $ Ox $ sao cho $ \left | { \overset\rightarrow { MA }+2\overset\rightarrow { MB } } \right | $ có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Gọi $ I\left ( { a;b } \right ) $ là điểm thoả mãn $ \overset\rightarrow { IA }+2\overset\rightarrow { IB }=\overset\rightarrow { 0 } $. Ta có: $ \overset\rightarrow { IA }=\left ( { -1-a;2-b } \right ),\overset\rightarrow { IB }=\left ( { 5-a;-4-b } \right ) $. Suy ra: $ \left \{ \begin{array}{l} \left ( { -1-a } \right )+2\left ( { 5-a } \right )=0 \\ \left ( { 2-b } \right )+2\left ( { -4-b } \right )=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} 9-3a=0 \\ -6-3b=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=3 \\ b=-2 \end{array} \right. $. Vậy $ I\left ( { 3;-2 } \right ) $. $ \left | { \overset\rightarrow { MA }+2\overset\rightarrow { MB } } \right |=\left | { \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IA }+2\left ( { \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IB } } \right ) } \right |=\left | { 3\overset\rightarrow { MI } } \right |=3MI $. Suy ra: $ \left | { \overset\rightarrow { MA }+2\overset\rightarrow { MB } } \right | $ có giá trị nhỏ nhất khi $ M $ là hình chiếu của $ I $ lên trục $ Ox $. Vậy $ M\left ( { 3;0 } \right ) $ Khi đó: $ \left | { \overset\rightarrow { MA }+2\overset\rightarrow { MB } } \right |=3MI=3\sqrt[] { (3-3) ^ { 2 } +(-2-0) ^ { 2 } }=6 $.