Cho $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ và $\alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}; 0\right)$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng Lời giải Do $\alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}; 0\right)$ nên $\sin \alpha < 0$. Vậy ta có: $$ \sin \alpha = -\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \frac{1}{3}} = -\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3} = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} $$ Xét khẳng định b: Áp dụng công thức cộng: $$ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi}{4} + \cos \alpha \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\sqrt{6}(1-\sqrt{2})}{6} $$ Xét khẳng định c: Ta có: $$ \cos 2\alpha - \sin 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{2}{3} - 1 - 2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{1}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{2\sqrt{2}-1}{3} $$ Xét khẳng định d: Ta có: $$ A = \sin 3\alpha \cos \alpha - \frac{1}{2}\sin 4\alpha = \frac{1}{2}(\sin 4\alpha + \sin 2\alpha) - \frac{1}{2}\sin 4\alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha = \sin \alpha \cos \alpha = \left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{3} $$ Vậy $A = -\frac{\sqrt{2}}{3}$.