Có hai con tàu $ A $ và $ B $ xuất phát từ hai bến cùng một thời điểm, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng tọa độ $ Oxy $ với đơn vị trên các trục tính theo ki - lô - mét). Sau khi xuất phát $ t $ (giờ) $ (t≥0 $), vị trí của tàu $ A $ có tọa độ được xác định bởi công thức: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=3-3t \\ y=-4+2t \\ \end{array} \end{array} \right. $, vị trí của tàu $ B $ có tọa độ là $ \left ( { 5+3t;\,3+4t } \right ) $.

a) Sai. Toạ độ của tàu $ A $ tại thời điểm $ t=0,5 $ là $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=1,5 \\ y=-3 \\ \end{array} \end{array} \right. $. b) Sai. Giả sử đường đi của tàu $ A $ là $ \left ( { d_{ 1 } } \right )⇒\left ( { d_{ 1 } } \right ) $: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=3-3t \\ y=-4+2t \\ \end{array} \end{array} \right. $ và đường đi của tàu $ B $ là $ \left ( { d_{ 2 } } \right ) $ $ ⇒\left ( { d_{ 2 } } \right ):\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=5+3t \\ y=3+4t \\ \end{array} \end{array} \right. $. $ ⇒u_{ 1 } =(-3;\,2);u_{ 2 } =(3;\,4) $.$ $ Ta có: $ \cos\left ( { d_{ 1 } ;\,d_{ 2 } } \right )=\left | { \cos\left ( { u_{ 1 } ;u_{ 2 } } \right ) } \right |=\frac { \|-3⋅3+2⋅4)\| } { \sqrt[] { (-3) ^ { 2 } +2 ^ { 2 } }⋅\sqrt[] { (3) ^ { 2 } +(4) ^ { 2 } } }=\frac { 1 } { 5\sqrt[] { 13 } } $. Suy ra góc giữa hai đường thẳng gần bằng $ 87° $. c) Sai. Phương trình tham số của $ \left ( { d_{ 1 } } \right ):\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=3-3t \\ y=-4+2t \\ \end{array} \end{array} \right. $ $ ⇒ $ Phương trình tổng quát $ \left ( { d_{ 1 } } \right ):2x+3y+6=0 $. Phương trình tham số của $ \left ( { d_{ 2 } } \right ):\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=5+3t \\ y=3+4t \\ \end{array} \end{array} \right. $ $ ⇒ $ Phương trình tổng quát $ \left ( { d_{ 2 } } \right ):4x-3y-11=0 $. Xét phương trình tọa độ giao điểm của $ d_{ 1 } $ và $ d_{ 2 } $ có: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 2x+3y=-6 \\ 4x-3y=11 \\ \end{array} \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=\frac { 5 } { 6 } \\ y=\frac { -23 } { 9 } \\ \end{array} \end{array} \right. $.$ $ Thay vào phương trình tham số của $ \left ( { d_{ 1 } } \right ) $ ta được $ \left ( { d_{ 1 } } \right ):\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \frac { 5 } { 6 }=3-3t \\ \frac { -23 } { 9 }=-4+2t \\ \end{array} \end{array} \right. $ $ ⇒t=\frac { 13 } { 18 }≈0,72 $ (giờ) Vậy hai tàu gặp nhau sau khi xuất phát khoảng 43,3 phút. d) Đúng. Tàu $ A $ đứng yên ở vị trí ban đầu $ ⇒A(3;-4) $. Khi đó khoảng cách ngắn nhất giữa tàu $ A $ và tàu $ B $ bằng $ d\left ( { A_{ ; } \left ( { d_{ 2 } } \right ) } \right ) $. $ d\left ( { A;d_{ 2 } } \right )=\frac { \|4.3-3.(-4)-11\| } { \sqrt[] { 4 ^ { 2 } +(-3) ^ { 2 } } }=\frac { 13 } { 5 }=2,6 $. Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng $ 2,6 km $.