Cho hình thoi $ABCD$ tâm $O$, các cạnh có độ dài bằng $1$, góc $\widehat{DAB} = 60^\circ$. Khi đó độ dài vectơ tổng $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AO}$ bằng $\frac{\sqrt{x}}{2}$. Khi đó $x$ bằng bao nhiêu?

Gọi $I$ là trung điểm của $BO$, $E$ là điểm đối xứng của $A$ qua $I$. Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AO} = 2\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AE}$ nên $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AO} \right| = \left| \overrightarrow{AE} \right| = AE$. Vì hình thoi $ABCD$ có cạnh bằng $1$ và $\widehat{DAB} = 60^\circ$ nên $\triangle ABD$ là tam giác đều cạnh $1$. Suy ra đường cao $AO = \frac{\sqrt{3}}{2}$ và $\widehat{ABO} = 60^\circ$. Tứ giác $ABEO$ có hai đường chéo $BO$ và $AE$ cắt nhau tại trung điểm $I$ của mỗi đường nên $ABEO$ là hình bình hành. Suy ra $BE = AO = \frac{\sqrt{3}}{2}$ và $\widehat{OBE} = \widehat{AOB} = 90^\circ$ (do hai đường chéo hình thoi vuông góc tại $O$). Do đó: $\widehat{ABE} = \widehat{ABO} + \widehat{OBE} = 60^\circ + 90^\circ = 150^\circ$. Xét tam giác $ABE$, áp dụng định lý cosin ta có: $AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2 \cdot AB \cdot BE \cdot \cos\widehat{ABE} = 1 + \frac{3}{4} - 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos 150^\circ = 1 + \frac{3}{4} - 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{13}{4}$. $\Rightarrow AE = \frac{\sqrt{13}}{2}$. Vậy $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AO} \right| = \frac{\sqrt{13}}{2} \Rightarrow x = 13$.