Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là tam giác$ ABC $ đều cạnh $ 2 $, tam giác $ SBA $ vuông tại $ B $, tam giác $ SAC $ vuông tại $ C $. Biết góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { SAB } \right ) $ và $ \left ( { ABC } \right ) $ bằng $ 60° $. Thể tích khối chóp $ S.ABC $ là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi $ D $ là hình chiếu của $ S $ lên mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $, suy ra $ SD⊥\left ( { ABC } \right ) $. Ta có $ SD⊥AB $ và $ SB⊥AB\,(gt) $, suy ra $ AB⊥\left ( { SBD } \right )⇒BA⊥BD $. Tương tự có $ AC⊥DC $ hay tam giác $ ACD $ vuông ở $ C $. Dễ thấy $ ΔSBA=ΔSCA $ (cạnh huyền và cạnh góc vuông), suy ra $ SB=SC $. Từ đó ta chứng minh được $ ΔSBD=ΔSCD $ nên cũng có $ DB=DC $. Vậy $ DA $ là đường trung trực của $ BC $, nên cũng là đường phân giác của góc $ \widehat { BAC } $. Ta có $ \widehat { DAC }=30° $, suy ra $ DC=\frac { 2 } { \sqrt[] { 3 } } $. Ngoài ra góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { SAB } \right ) $ và $ \left ( { ABC } \right ) $ là $ \widehat { SBD }=60° $, suy ra $ \tan \widehat { SBD }=\frac { SD } { BD }⇒SD=BDtan \widehat { SBD }=\frac { 2 } { \sqrt[] { 3 } }.\sqrt[] { 3 }=2 $. Vậy $ V_{ S.ABC } =\frac { 1 } { 3 }.S_{ ΔABC } .SD=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 2 ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }.2=\frac { 2\sqrt[] { 3 } } { 3 } $. Kết quả làm tròn là: $ 1,15 $.