Cho tứ diện đều $ S.ABC $ có cạnh là $ a $. Gọi $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $.

a) Đúng. Ta có $ ΔABC $ đều, $ G $ là trọng tâm tam giác $ ΔABC $ suy ra $ GA=GB=GC $. Ta lại có $ S.ABC $ là hình chóp tam giác đều nên $ SA=SB=SC $. Suy ra $ SG⊥\left ( { ABC } \right ) $. b) Đúng. Tam giác $ ABC $ đều cạnh $ a $ nên $ AM=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }a $ và $ AG=\frac { 2 } { 3 }AM=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } $. Xét tam giác $ SGA $ có $ SG=\sqrt[] { SA ^ { 2 } -AG ^ { 2 } }=\sqrt[] { a ^ { 2 } -\left ( { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 } $. c) Sai. Diện tích tam giác $ ABC $: $ S_{ ΔABC } =\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 } $ Thể tích khối chóp $ S.ABC $ là $ V_{ S.ABC } =\frac { 1 } { 3 }S_{ ABC } .SG=\frac { 1 } { 3 }.\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }.\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 2 } } { 12 } $. d) Sai. Tam giác $ ABC $ đều cạnh $ a $ nên $ AM=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }a $ và $ GM=\frac { 1 } { 3 }AM=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 6 } $. Diện tích tam giác $ CGM $: $ S_{ ΔCGM } =\frac { 1 } { 2 }GM.CM=\frac { 1 } { 2 }.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 6 }.\frac { a } { 2 }=\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 24 } $. Vậy thể tích khối chóp $ G.SCM $ là $ V_{ G.SCM } =V_{ S.CGM } =\frac { 1 } { 3 }S_{ CGM } .SG=\frac { 1 } { 3 }.\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 24 }.\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 2 } } { 72 } $.