Cho hình lăng trụ đứng tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $AB = a, AC = a\sqrt{3}$, cạnh bên $AA' = a\sqrt{6}$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$.

a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai Lời giải a) Vì hình lăng trụ đứng nên $BB' \perp (ABC)$, mà $AC \subset (ABC)$ nên $BB' \perp AC$. Do đó góc giữa hai đường thẳng $B'B$ và $AC$ bằng $90^\circ$. b) Ta có: $AA' \perp (ABC) \Rightarrow (A'C, (ABC)) = (A'C, AC) = \widehat{ACA'}$ Xét tam giác vuông $A'CA$ có: $$ \tan\widehat{ACA'} = \frac{A'A}{AC} = \frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{3}} = \sqrt{2} $$ Suy ra $\widehat{ACA'} \approx 55^\circ > 45^\circ$. c) Ta có: $BB' \perp (ABC) \Rightarrow (B'C, (ABC)) = (B'C, BC) = \widehat{BCB'}$ Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $BC = \sqrt{a^{2} + (a\sqrt{3})^{2}} = 2a$. Tam giác $B'CB$ vuông tại $B$ có: $$ \tan\widehat{B'CB} = \frac{BB'}{BC} = \frac{a\sqrt{6}}{2a} = \frac{\sqrt{6}}{2} $$ d) Gọi $N$ là trung điểm của $BB'$, khi đó $MN \parallel B'C$ nên $(AM, B'C) = (AM, MN) = \widehat{AMN}$. Xét tam giác $AMN$ có: $AM = \frac{1}{2}BC = a$ $AN = \sqrt{a^{2} + \Big(\frac{a\sqrt{6}}{2}\Big)^{2}} = \frac{a\sqrt{10}}{2}$ $B'C = \sqrt{BB'^{2} + BC^{2}} = \sqrt{6a^{2} + 4a^{2}} = a\sqrt{10}$, mà $MN$ là đường trung bình của tam giác $BB'C$ nên $MN = \frac{1}{2}B'C = \frac{a\sqrt{10}}{2}$. Áp dụng định lí côsin trong tam giác $AMN$: $\cos\widehat{AMN} = \frac{AM^{2} + MN^{2} - AN^{2}}{2 \cdot AM \cdot MN} = \frac{a^{2}}{a^{2}\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \neq \frac{\sqrt{6}}{6}$. Vậy $\cos(AM, B'C) = \frac{\sqrt{10}}{10}$, khẳng định d) sai.