Bên trong một hồ bơi, người ta dự định thiết kế hai bể sục nửa hình tròn bán kính bằng nhau và một bể sục hình tròn (tham khảo hình vẽ) để người bơi có thể tựa lưng vào thành các bể sục thư giãn. Biết tổng chu vi của ba bể là $ 32\,{ \rm{ m. } } $ Khi tổng diện tích ba bể sục là nhỏ nhất thì tổng bán kính bể sục nửa hình tròn và bể sục hình tròn bằng bao nhiêu? (trong tính toán lấy $ π=3,14, $ độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai).

Gọi bán kính mỗi bể sục hình tròn và nửa hình tròn tương ứng là $ x, y \left ( { m } \right ) $ $ \left ( { x,y>0 } \right ) $ Tổng chu vi ba bể là $ 32\,{ \rm{ m } } $, ta có $ 2.3,14.x+2.3,14.y+4y=32 $ $ ⇔y=\frac { 8-1,57x } { 2,57 }⇔\,1,57x\,+\,2,57y\,-\,8\,=\,0 $. Gọi tổng diện tích của ba bể sục là $ S\left ( { m ^ { 2 } } \right ) $, $ S>0 $ Khi đó $ 3,14x ^ { 2 } \,+\,3,14y ^ { 2 } \,=\,S\,⇔\,x ^ { 2 } +y ^ { 2 } =\frac { S } { 3,14 } $. Ta có $ \frac { S } { 3,14 }=x ^ { 2 } +y ^ { 2 } =x ^ { 2 } +\left ( { \frac { 8-1,57x } { 2,57 } } \right ) ^ { 2 } =x ^ { 2 } +\frac { 1 } { 2,57 ^ { 2 } }\left ( { 1,57 ^ { 2 } x ^ { 2 } -16.1,57x+64 } \right ) =\left ( { 1+\frac { 1,57 ^ { 2 } } { 2,57 ^ { 2 } } } \right )x ^ { 2 } -\frac { 16.1,57 } { 2,57 ^ { 2 } }x+\frac { 64 } { 2,57 ^ { 2 } } $. $ S_{ \min } $ khi và chỉ khi $ x=\frac { 16.1,57 } { 2,57 ^ { 2 } }:\left[ 2\left ( { 1+\frac { 1,57 ^ { 2 } } { 2,57 ^ { 2 } } } \right ) \right]=1,38>0 $(thỏa mãn).