Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các điểm $A(1; -4)$, $B(-2; 2)$, $C(-5; 4)$.

a) Sai. Đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $A(1; -4)$, $B(-2; 2)$ nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta}} = \overrightarrow{AB} = (-3; 6)$. Phương trình tham số của $\Delta$ là: $\begin{cases} x = 1 - 3t \\\\ y = -4 + 6t \end{cases}$. b) Đúng. $\Delta$ và $d$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_{\Delta}} = (6; 3)$ và $\overrightarrow{n_d} = (1; -2)$. Ta có: $\overrightarrow{n_{\Delta}} \cdot \overrightarrow{n_d} = 6 \cdot 1 + 3 \cdot (-2) = 0$ nên $\overrightarrow{n_{\Delta}}$ và $\overrightarrow{n_d}$ là hai vectơ vuông góc. Suy ra: $\Delta \perp d$. c) Sai. +) Đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\Delta}} = (6; 3)$. Phương trình tổng quát của $\Delta$ là: $6(x - 1) + 3(y + 4) = 0 \Leftrightarrow 6x + 3y + 6 = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 2 = 0$. +) $R = d(C, \Delta) = \frac{|2 \cdot (-5) + 4 + 2|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$. +) Phương trình đường tròn $(S)$ tâm $C$ là $(x + 5)^2 + (y - 4)^2 = \frac{16}{5}$. d) Đúng. +) Gọi $I$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$. $\Rightarrow I = \left( \frac{1 + 2 \cdot (-2) + 3 \cdot (-5)}{1 + 2 + 3}; \frac{-4 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 4}{1 + 2 + 3} \right) = (-3; 2)$. +) Ta có: $\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} \right| = \left| 6\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} \right| = \left| 6\overrightarrow{MI} \right| = 6MI$. +) $\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} \right|$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow MI_{\min}$. Mà $M \in Ox \Rightarrow M$ là hình chiếu của $I$ lên $Ox \Rightarrow M(-3; 0)$.