Một nhà vòm chứa máy bay có mặt cắt hình nửa elip cao$ 5m $, rộng$ 20{ \rm{ } }m $.Tính khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường $ 5m $ lên đến nóc nhà vòm.

Chọn hệ trục tọa độ $ Oxy $ như hình vẽ. Nhà vòm có dạng nửa elip nên có phương trình chính tắc của elip là $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } }+\frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } }=1 $ ($ a>b>0 $). Ta có chiều cao của nhà vòm là 5m nên $ OA=h=5 $, chiều rộng của nhà vòm là 20m nên$ BC=2OB=20 $. Suy ra $ OB=10 $. Ta có tọa độ các điểm: $ C(10;\,0) $ và $ A(0;\,5) $. Thay hai điểm này vào phương trình chính tắc, ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \frac { 10 ^ { 2 } } { a ^ { 2 } }+\frac { 0 ^ { 2 } } { b ^ { 2 } }=1 \\ \frac { 0 ^ { 2 } } { a ^ { 2 } }+\frac { 5 ^ { 2 } } { b ^ { 2 } }=1 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=10 \\ b=5. \end{array} \right. $ Suy ra phương trình miêu tả hình dáng nhà vòm là $ \frac { x ^ { 2 } } { 100 }+\frac { y ^ { 2 } } { 25 }=1 $. Điểm cách chân tường 5m tương ứng cách tâm 5m (vì từ tâm đến tường là 10m). Thay $ x=5 $ vào phương trình $ \frac { x ^ { 2 } } { 100 }+\frac { y ^ { 2 } } { 25 }=1 $, ta tìm được $ y=\frac { 5\sqrt[] { 3 } } { 2 } $. Vậy khoảng cách phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5m đến nóc nhà vòm là $ \frac { 5\sqrt[] { 3 } } { 2 }≈4,33 $ m.