Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} & \text{khi } x \neq 2 \\ m & \text{khi } x = 2 \end{cases}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Lời giải Tập xác định: $D = \mathbb{R}$. Hàm số $f(x)$ hiển nhiên liên tục trên các khoảng xác định đa thức $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$. Ta tiến hành kiểm tra điều kiện tại điểm $x = 2$: * Giá trị hàm số: $f(2) = m$. * Tính giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới $2$: $$ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 1) = 2 + 1 = 3 $$ Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi nó liên tục tại điểm $x = 2$, suy ra: $$ \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \Leftrightarrow m = 3 $$ Vậy giá trị tham số cần tìm là $m = 3$.