Cho tứ giác lồi $ ABCD $ có $ \widehat { ABC }= \widehat { ADC }=90° $, $ \widehat { BAD }=120° $ và $ BD=\sqrt[] { 3 } $. Tính $ AC $.

Tứ giác $ ABCD $ nội tiếp đường tròn tâm $ I $, với $ I $ là trung điểm $ AC $. $ \widehat { BCD }=180°-120°=60° $ nên $ \widehat { BID }=120° $. Giả sử $ IB=ID=x $, $ \left ( { x>0 } \right ) $, theo định lí Côsin ta có: $ BD ^ { 2 } =IB ^ { 2 } +ID ^ { 2 } -2IB.\,ID.\,c{ \rm{ os } }120° $ $ ⇔3=3x ^ { 2 } $ $ ⇔x=1 $. Vậy $ AC=2x=2 $.