(Cụm trường Nam Định 2025) Trong không gian $ Oxyz, $ mặt cầu $ \left ( { S } \right ):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -2x+4y-8z-4=0 $ tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác $ ABC. $ Biết $ AB=3,\,BC=4,\,CA=5; $ tính khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến $ \left ( { ABC } \right ). $ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ có tâm $ I\left ( { 1;-2;4 } \right ) $ và bán kính $ R=\sqrt[] { 1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +4 ^ { 2 } -\left ( { -4 } \right ) }=5 $. Vì mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác $ ABC $ nên mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ cắt mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ theo giao tuyến là đường tròn nội tiếp tam giác $ ABC $. Ta có $ AB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } =AC ^ { 2 } ⇒ΔABC $ vuông tại $ B $. Diện tích tam giác $ ABC $ là $ S_{ ΔABC } =\frac { 1 } { 2 }AB.BC=6 $. Nửa chu vi tam giác $ ABC $ là $ p=\frac { 3+4+5 } { 2 }=6 $. Bán kính đường tròn đường nội tiếp tam giác $ ABC $ là $ r=\frac { S_{ ΔABC } } { p }=1 $. Khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ là $ d=\sqrt[] { R ^ { 2 } -r ^ { 2 } }=\sqrt[] { 5 ^ { 2 } -1 ^ { 2 } }=2\sqrt[] { 6 }≈4,9 $