Đúng/Sai · Câu 5
Trong không gian $ Oxyz $, cho mặt cầu $ \left ( { S } \right ):\left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y+6 } \right ) ^ { 2 } +z ^ { 2 } =50 $ có tâm $ I $ và điểm $ K\left ( { 1;-3;0 } \right ) $.
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Sai
- b. Sai
- c. Đúng
- d. Đúng
Lời giải
a) Sai. Thay tọa độ điểm $ K\left ( { 1;-3;0 } \right ) $ vào phương trình mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ ta được:
$ \left ( { 1-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -3+6 } \right ) ^ { 2 } +0 ^ { 2 } \neq 50⇒K∉\left ( { S } \right ) $.
b) Sai. Mặt mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ có tâm $ I\left ( { 2;-6;0 } \right ) $.
Ta có: $ IK=\sqrt[] { \left ( { 1-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -3+6 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 0-0 } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 10 } $.
c) đúng. Mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ có bán kính $ R=\sqrt[] { 50 }=5\sqrt[] { 2 } $.
d) Đúng. Ta có: $ M $ là điểm thuộc $ \left ( { S } \right ) $ suy ra: $ \cos \widehat { KMI }=\frac { MK ^ { 2 } +MI ^ { 2 } -KI ^ { 2 } } { 2.MK.MI }=\frac { MK ^ { 2 } +50-10 } { 2.MK.5\sqrt[] { 2 } }=\frac { 1 } { 10\sqrt[] { 2 } }\left ( { MK+\frac { 40 } { MK } } \right )\geq \frac { 1 } { 10\sqrt[] { 2 } }.2\sqrt[] { MK.\frac { 40 } { MK } } $
$ ⇔\cos \widehat { KMI }\geq \frac { 2\sqrt[] { 5 } } { 5 } $. Suy ra $ \widehat { KMI } $ lớn nhất khi và chỉ khi $ \left ( { \cos \widehat { KMI } } \right )_{ \min } =\frac { 2\sqrt[] { 5 } } { 5 } $, xảy ra khi $ MK=\frac { 40 } { MK }⇔MK=\sqrt[] { 40 }=2\sqrt[] { 10 } $.