Trong không gian $ { \rm{ Oxyz } } $, mỗi đơn vị trên trục toạ độ có độ dài $ 10km $. Một trạm theo dõi được đặt tại gốc toạ độ và có thể phát hiện được các vật thể cách nó một khoảng không quá $ 30km $. Một vệ tinh do thám di chuyển từ vị trí $ A\left ( { 4;2;1 } \right ) $ đến vị trí $ B\left ( { -1;-\frac { 1 } { 2 };\frac { 7 } { 2 } } \right ) $ với vận tốc $ 80km/h $ theo một đường thẳng.

a) đúng $ OA=\sqrt[] { 16+4+1 }=\sqrt[] { 21 }≈4,6=46km>30km $ $ OB=\sqrt[] { 1+\frac { 1 } { 4 }+\frac { 49 } { 4 } }=\frac { \sqrt[] { 54 } } { 2 }≈3,67>3 $ Vậy hai điểm $ A $ nằm ngoài tầm phát hiện của trạm theo dõi và điểm $ B $ nằm trong tầm phát hiện của trạm theo dõi. b) Đúng $ \overset\rightarrow { AB }\left ( { -5;\frac { -5 } { 2 };\frac { 5 } { 2 } } \right ) $ nên véc tơ chỉ phương của đường thẳng $ AB{ \rm{ } } $là $ \overset\rightarrow { u }\left ( { 2;1;-1 } \right ) $ Phương trình đường thẳng $ AB{ \rm{ } } $là $ \left \{ \begin{array}{l} x=4+2t \\ y=2+t \\ z=1-t \end{array} \right.\quad ,t\in \mathbb{R} $. c) Sai Phương trình mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ tâm $ O\left ( { 0;0;0 } \right ),R=3 $ là $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } = 9 $. Toạ độ giao điểm của đường thẳng $ AB $ và mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ là nghiệm của hệ phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} x=4+2t \\ y=2+t \\ z=1-t \\ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } =9 \end{array} \right. $ Suy ra $ \left ( { 4+2t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 2+t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 1-t } \right ) ^ { 2 } =9⇔\left[\begin{array}{l} t=-1⇒M\left ( { 2;1;2 } \right ) \\ t=-2⇒N\left ( { 0;0;3 } \right ) \end{array}\right. $ ( vì$ AM < AN $) Vị trí đầu tiên do thám bị trạm theo dõi phát hiện là $ M\left ( { 2;1;2 } \right ) $. d) Sai $ MN=\sqrt[] { 4+1+1 }=\sqrt[] { 6 }=10\sqrt[] { 6 }km $ Thời gian vệ tinh do thám bay qua vùng bị phát hiện là $ \frac { 10\sqrt[] { 6 } } { 80 }≈0,31(h)=18,6 $ phút Vậy vệ tinh do thám bay qua vùng bị phát hiện trong khoảng thời gian nhiều hơn $ 15 $phút.