Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình 2025) Trong không gian $ Oxyz $, cho mặt cầu $ \left ( { S } \right ):\,\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } +y ^ { 2 } +\left ( { z-2 } \right ) ^ { 2 } =10 $ và hai điểm $ A\left ( { 1;2;-4 } \right ) $, $ B\left ( { 1;2;14 } \right ) $. Điểm $ M $ thay đổi trên mặt cầu, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P=MA+2MB $ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Mặt cầu $ \left ( { S } \right ):\,\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } +y ^ { 2 } +\left ( { z-2 } \right ) ^ { 2 } =10 $ có tâm $ I\left ( { 1;0;2 } \right ),\,R=\sqrt[] { 10 } $. Dễ thấy hai điểm $ A,B $ nằm ngoài mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $. Gọi điểm $ C\left ( { x;y;z } \right ) $ trên cạnh $ IA $ sao cho tam giác $ ICM $ và tam giác $ IMA $ đồng dạng theo tỷ số $ \frac { 1 } { 2 } $. Khi đó ta có: $ \frac { IC } { IM }=\frac { IM } { IA }=\frac { CM } { MA }=\frac { 1 } { 2 }⇒IC=\frac { IM ^ { 2 } } { IA }⇒\frac { IC } { IA }=\frac { IM ^ { 2 } } { IA ^ { 2 } }=\frac { 10 } { 40 }=\frac { 1 } { 4 } $ Suy ra $ \overset\rightarrow { IC }=\frac { 1 } { 4 }\overset\rightarrow { IA }⇒C\left ( { 1;\frac { 1 } { 2 };\frac { 1 } { 2 } } \right ) $. Ta có $ MA=2MC $. $ IC=\sqrt[] { \frac { 5 } { 2 } } < R $ nên điểm $ C $ nằm phía trong của mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $. Khi đó: $ P=MA+2MB=2MC+2MB=2\left ( { MC+MB } \right )\geq 2BC=2.\frac { 3\sqrt[] { 82 } } { 2 }=3\sqrt[] { 82 } $. Vậy $ P_{ \min } =3\sqrt[] { 82 }≈27,2 $ khi $ B,M,C $ thẳng hàng và điểm $ M $ nằm giữa hai điểm $ B,C $.