Trong không gian với hệ tọa độ $ Oxyz $(với đơn vị đo trên các trục tọa độ là mét). Một tàu ngầm đang di chuyển dưới biển sâu với hướng di chuyển theo đường thẳng $ Δ:\frac { x-50 } { 3 }=\frac { y+20 } { -4 }=\frac { z-10 } { 1 } $. Hải quân phát hiện một khu vực nguy hiểm được rải thủy lôi, khu vực này có dạng hình cầu $ \left ( { S } \right ) $với tâm $ C\left ( { 200;-300;60 } \right ) $ và bán kính $ R=80 $.

a) Sai Vectơ chỉ phương của $ Δ $: $ \overset\rightarrow { u_{ Δ } }=\left ( { 3;-4;1 } \right ) $; $ \overset\rightarrow { OC }=\left ( { 200;-300;60 } \right ) $. $ \overset\rightarrow { u }_{ Δ } .\overset\rightarrow { OC }=3.200+\left ( { -4 } \right )\left ( { -300 } \right )+1.60=1860\neq 0 ⇒\overset\rightarrow { u }_{ Δ } ,\overset\rightarrow { OC } $ không vuông góc với nhau. b) Đúng Ta có $ B\left ( { 50+3t;-20-4t;10+t } \right )\in Δ $. Thay tọa độ điểm $ B $ vào phương trình $ \left ( { P } \right ) $ ta được: $ 4\left ( { 50+3t } \right )+3\left ( { -20-4t } \right )=140 $ $ 140=140 $, đúng $ ∀t $. Vậy $ Δ⊂\left ( { P } \right ) $. c) Đúng Gọi $ B\left ( { 50+3t;-20-4t;10+t } \right )\in Δ $ là hình chiếu vuông góc của $ C $ trên $ Δ $. $ \overset\rightarrow { CB }=\left ( { -150+3t;280-4t;-50+t } \right ) $. $ \overset\rightarrow { u_{ Δ } }⊥\overset\rightarrow { CB }⇔\overset\rightarrow { u_{ Δ } }.\overset\rightarrow { CB }=0⇔3\left ( { -150+3t } \right )-4\left ( { 280-4t } \right )+\left ( { -50+t } \right )=0 $ $ ⇔t=\frac { 810 } { 13 } $. Suy ra: $ B\left ( { \frac { 3080 } { 13 };\frac { -3500 } { 13 };\frac { 940 } { 13 } } \right ) $; $ \overset\rightarrow { CB }=\left ( { \frac { 480 } { 13 };\frac { 400 } { 13 };\frac { 160 } { 13 } } \right ) $ $ CB=\sqrt[] { \left ( { \frac { 480 } { 13 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 400 } { 13 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 160 } { 13 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 80\sqrt[] { 65 } } { 13 }≈49,6 < R $. Vậy tàu ngầm sẽ đi vào khu vực nguy hiểm. d) Sai Phương trình mặt cầu tâm $ C\left ( { 200;-300;60 } \right ) $,bán kính $ R=80 $ là $ \left ( { x-200 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y+300 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z-60 } \right ) ^ { 2 } =6400 $ Ta có $ AC=\sqrt[] { \left ( { 50-200 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -20+300 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 10-60 } \right ) ^ { 2 } }≈322>80⇒A $nằm ngoài mặt cầu Vì $ M $ là điểm gần nhất thuộc khu vực nguy hiểm trên đường đi của tàu ngầm nên M là giao điểm của đường thẳng $ Δ $ với mặt cầu Gọi $ M\left ( { 50+3t;-20-4t;10+t } \right )\in Δ $. Thay tọa độ $ M $ vào phương trình mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ ta được: $ \left ( { -150+3t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 280-4t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -50+t } \right ) ^ { 2 } =6400⇔13t ^ { 2 } -1620t+48500=0⇔\left[\begin{array}{l} t=50 \\ t=\frac { 970 } { 13 }≈74,6 \end{array}\right. $. Vì $ M $ là điểm gần nhất trên đường đi của tàu ngầm nên chọn $ t=50⇒M\left ( { 200;-220;60 } \right ) $. Ta có $ AM=\sqrt[] { 150 ^ { 2 } +200 ^ { 2 } +50 ^ { 2 } }=50\sqrt[] { 26 }≈254,95\left ( { m } \right ) $. Thời gian tàu ngầm di chuyển từ $ A $ đến $ M $ là $ \frac { AM } { 5 }≈51,0 $ giây $ < 63,5 $ giây. Vậy khẳng định d) không đúng, tức là d) Sai.