Trong không gian với hệ toạ độ $ Oxyz, $ cho hai mặt cầu $ (S_{ 1 } ):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +(z-1) ^ { 2 } =16 $ và mặt cầu $ (S_{ 2 } ):x ^ { 2 } +(y-12) ^ { 2 } +(z+4) ^ { 2 } =1 $ và đường thẳng $ Δ:\frac { x-12 } { 1 }=\frac { y+1 } { 2 }=\frac { z-3 } { 2 }. $ Các điểm $ M,N,P $ di chuyển và lần lượt thuộc $ (S_{ 1 } ),(S_{ 2 } ),Δ $ (tham khảo hình vẽ). Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng $ MP+PN $ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Ta có: $ (S_{ 1 } ) $ có tâm $ I(0;0;1), $ bán kính $ r_{ 1 } =4. $ $ (S_{ 2 } ) $ có tâm $ J(0;12;-4), $ bán kính $ r_{ 2 } =1. $ $ Δ $ có vectơ chỉ phương $ u=(1;2;2) $ và đi qua $ D(12;-1;3). $ $ Δ:\frac { x-12 } { 1 }=\frac { y+1 } { 2 }=\frac { z-3 } { 2 }⇔\left \{ \begin{array}{l} x=12+t \\ y=-1+2t \\ z=3+2t \end{array} \right.⇒P(t+12;2t-1;2t+3) $ Dễ thấy $ MP+PN $ nhỏ nhất $ ⇔PI+PJ=MP+PN+5 $ nhỏ nhất. Cách 1: Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của: $ l=IP+JP=\sqrt[] { (t+12) ^ { 2 } +(2t-1) ^ { 2 } +(2t+2) ^ { 2 } }+\sqrt[] { (t+12) ^ { 2 } +(2t-13) ^ { 2 } +(2t+7) ^ { 2 } } \\ =\sqrt[] { 9t ^ { 2 } +28t+149 }+\sqrt[] { 9t ^ { 2 } +362 }=\sqrt[] { \left ( { 3t+\frac { 14 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { \sqrt[] { 1145 } } { 9 } } \right ) ^ { 2 } }+\sqrt[] { (-3t) ^ { 2 } +\left ( { \sqrt[] { 362 } } \right ) ^ { 2 } } $ Đặt $ u=\left ( { 3t+\frac { 14 } { 3 };\frac { \sqrt[] { 1145 } } { 3 } } \right ),v=\left ( { -3t;\sqrt[] { 362 } } \right )⇒u+v=\left ( { \frac { 14 } { 3 };\frac { \sqrt[] { 1145 }+3\sqrt[] { 362 } } { 3 } } \right ) $ Ta có: $ l={ \rm{ = } }\sqrt[] { \left ( { \frac { 14 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { \sqrt[] { 1145 }+3\sqrt[] { 362 } } { 3 } } \right ) ^ { 2 } }≈30,66. $ Đẳng thức xảy ra khi $ u,v $ cùng hướng hay $ \left ( { 3t+\frac { 14 } { 3 } } \right )\sqrt[] { 362 }=-3t.\frac { \sqrt[] { 1145 } } { 3 }⇔t=\frac { -14\sqrt[] { 362 } } { 3\left ( { 3\sqrt[] { 362 }+\sqrt[] { 1145 } } \right ) }=\frac { 14\sqrt[] { 414490 }-15204 } { 6339 } $ Vậy giá trị nhỏ nhất của $ MP+PN $ là $ l-5≈25,7. $ Cách 2: Gọi các mặt phẳng: $ { \rm{ mp } }(\alpha ){ \rm{ qua } }I\&⊥Δ;{ \rm{ mp } }(\beta ){ \rm{ qua } }J\&⊥Δ;{ \rm{ mp } }(φ)≡{ \rm{ mp } }(J;Δ) $ Khi đó: $ (\alpha ):x+2y+2z-2=0 \\ (φ):40x+17y-37z-352=0 $ Gọi $ A=Δ∩(\alpha )⇒A\left ( { \frac { 94 } { 9 };-\frac { 37 } { 9 };-\frac { 1 } { 9 } } \right ) $ và $ d=(\alpha )∩(φ)⇒d:\left \{ \begin{array}{l} x=\frac { 670 } { 63 }+12t \\ y=-\frac { 272 } { 63 }-13t \\ z=7t \end{array} \right. $ Gọi $ I'\in { \rm{ d } }⇒I'\left ( { \frac { 670 } { 63 }+12t;-\frac { 272 } { 63 }-13t;7t } \right ) $ thỏa $ AI'=AI. $ Khi đó, trong mặt phẳng $ (φ):I'J∩Δ=P $ thỏa $ PJ+PI=PJ+PI'{ \rm{ vì } }PI=PI'{ \rm{ ( } }∀P\in Δ) $ Khi đó $ PJ+PI $ nhỏ nhất khi và chỉ khi $ J,P,I' $ thẳng hàng và $ P $nằm giữa $ A,B $ (Dễ dàng chứng minh $ P $nằm ngoài $ A,B $ không thỏa nhỏ nhất). Tìm $ I': $ $ AI'=AI⇔\left ( { 12t+\frac { 4 } { 21 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -13t-\frac { 13 } { 63 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 7t+\frac { 1 } { 9 } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 1145 } { 9 } \\ ⇔1436778t ^ { 2 } +45612t-504583=0⇔\left[ t≈0,57695293⇒JI'≈30,66{ \rm{ (khác phía } }Δ{ \rm{ ) (cùng phía } }Δ) \right. $ Vậy $ PM+PN=PI+PJ-5=JI'-5≈25,7. $