(Sở Thái Bình 2025) Trong không gian với hệ tọa độ $ Oxyz, $ cho mặt phẳng $ (P):x+y-z-3=0 $ và hai điểm $ M(1;1;1), $ $ N(-3;-3;-3). $ Mặt cầu $ (S) $ đi qua $ M,N $ và tiếp xúc với mặt phẳng $ (P) $ tại điểm $ Q. $ Biết rằng $ Q $ luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng bao nhiêu?

Ta có: $ \overset\rightarrow { MN }=(-4;-4;-4)=-4(1;1;1)⇒ $ Phương trình tham số của $ MN $ là $ \left \{ \begin{array}{l} x=1+t \\ y=1+t \\ z=1+t \end{array} \right. $ Gọi $ I=MN∩(P) $, khi đó tọa độ điểm $ I $ ứng với $ t $ thỏa mãn: $ (1+t)+(1+t)-(1+t)-3=0⇔t=2⇒I(3;3;3) $ Do mặt cầu $ (S) $ đi qua $ M,N $ và tiếp xúc với $ (P) $ tại $ Q $ nên đường thẳng $ IQ $ là tiếp tuyến của $ (S) $ tại điểm $ Q. $ Ta có: $ ΔIMQ∽ΔIQN\,\left ( { g-g } \right )⇒IQ ^ { 2 } =IM.IN=\sqrt[] { 4+4+4 }.\sqrt[] { 36+36+36 }=36⇒IQ=6. $ Vì $ I $ cố định nên $ Q $ luôn thuộc đường tròn tâm $ I $ bán kính $ R=6. $