Cho đường thẳng $(d): y = -2$ và parabol $(P_{m}): y = -x^{2} + mx - m^{2} + 1$ với $m \in \left[-1; \frac{1}{2}\right]$. $(d)$ cắt $(P_{m})$ tại hai điểm phân biệt $M, N$. Gọi $a$ và $b$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $MN$. Tính tổng $S = a^{2} + b^{2}$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P_{m})$ là: $-x^{2} + mx - m^{2} + 1 = -2 \Leftrightarrow -x^{2} + mx - m^{2} + 3 = 0 \quad (1)$ $(d)$ cắt $(P_{m})$ tại hai điểm $M, N$ khi và chỉ khi $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta > 0$ $\Leftrightarrow m^{2} - 4 \cdot (-1) \cdot (-m^{2} + 3) > 0 \Leftrightarrow -3m^{2} + 12 > 0 \Leftrightarrow -2 < m < 2$ Nên với điều kiện $m \in \left[-1; \frac{1}{2}\right]$ thì $(d)$ cắt $(P_{m})$ tại hai điểm phân biệt. Gọi $M(x_{1}; -2), N(x_{2}; -2)$ với $x_{1}, x_{2}$ là nghiệm của phương trình $(1)$. Ta có: $\vec{MN} = (x_{2} - x_{1}; 0) \Leftrightarrow MN^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4x_{1}x_{2}$ Theo định lí Vi-ét ta có: $MN^{2} = m^{2} - 4(m^{2} - 3) = -3m^{2} + 12$. Xét hàm số $f(m) = -3m^{2} + 12$, có đỉnh $S(0; 12)$. Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có: $MN ^ { 2 } $ đạt giá trị lớn nhất bằng $ 12 $ tại $ m=0 $ và giá trị nhỏ nhất bằng $ 9 $ tại $ m=-1 $, suy ra $ a ^ { 2 } =12 $ và $ b ^ { 2 } =9 $. Vậy $ S=a ^ { 2 } +b ^ { 2 } =12+9=21. $