Gọi $ M $ và $ m $ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y=sinx+\sqrt[] { 3 }cosx+3 $. Tính $ M+m $.

Ta có $ y=sinx+\sqrt[] { 3 }cosx+3=2\left ( { \frac { 1 } { 2 }sinx+\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }cosx } \right )+3=2\sin\left ( { x+\frac { \pi } { 3 } } \right )+3 $ Do $ ∀x:-1\leq \sin\left ( { x+\frac { \pi } { 3 } } \right )\leq 1 ⇔-2\leq 2\sin\left ( { x+\frac { \pi } { 3 } } \right )\leq 2 ⇔1\leq 2\sin\left ( { x+\frac { \pi } { 3 } } \right )+3\leq 5 ⇔1\leq y\leq 5 $. Vậy $ m=\mathop { \min } \limits_{ \mathbb{R} } y=1{ \rm{ khi } }x=-\frac { 5\pi } { 6 }+k2\pi ,(k\in \mathbb{Z}) $ và $ M=\mathop { \max } \limits_{ \mathbb{R} } y=5 $ khi $ x=\frac { \pi } { 6 }+k2\pi ,(k\in \mathbb{Z}) $ nên $ M+m=6 $.