Biết tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\frac{2\cos^{2} x - \cos x}{\tan x - \sqrt{3}} = 0$ trên $[0; 4\pi]$ có dạng $\frac{a\pi}{b}$, với $a, b \in \mathbb{N}^{*}$, và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a + b$.

Lời giải Điều kiện xác định của phương trình: $$ \left\{\begin{array}{l} \cos x \neq 0 \\ \tan x \neq \sqrt{3} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \\ x \neq \frac{\pi}{3} + k\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}) $$ Phương trình tương đương: $$ 2\cos^{2} x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x\big(2\cos x - 1\big) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \cos x = 0 \text{ (loại)} \\ \cos x = \frac{1}{2} \end{array}\right. $$ Giải phương trình $\cos x = \frac{1}{2}$, ta được: $$ x = \pm\frac{\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) $$ Đối chiếu với điều kiện $x \neq \frac{\pi}{3} + k\pi$, ta thấy họ nghiệm $x = \frac{\pi}{3} + k2\pi$ bị loại hoàn toàn. Do đó, phương trình chỉ nhận họ nghiệm: $$ x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) $$ Vì $x \in [0; 4\pi]$ nên ta có: $$ 0 \leq -\frac{\pi}{3} + k2\pi \leq 4\pi \Leftrightarrow \frac{1}{6} \leq k \leq \frac{13}{6} $$ Do $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \{1; 2\}$. Do đó, tổng tất cả các nghiệm là: $$ \left(-\frac{\pi}{3}+2\pi\right) + \left(-\frac{\pi}{3}+4\pi\right) = \frac{5\pi}{3} + \frac{11\pi}{3} = \frac{16\pi}{3} $$ Vậy $a = 16$, $b = 3$ (vì $\frac{16}{3}$ là phân số tối giản), suy ra $a+b = 16+3 = 19$.