Cho tam giác ABC, có ba cạnh $a, b, c$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Tính giá trị biểu thức $P = \cot\frac{A}{2} \cdot \cot\frac{C}{2}$.

Chọn C Lời giải Nếu ba cạnh $a, b, c$ lập thành cấp số cộng thì ta có: $$ a + c = 2b $$ $$ \Leftrightarrow \sin A + \sin C = 2\sin B \Leftrightarrow 2\sin\frac{A + C}{2} \cos\frac{A - C}{2} = 4\sin\frac{B}{2} \cos\frac{B}{2} \quad (1) $$ Vì $A + C = 180^\circ - B \Rightarrow \frac{A + C}{2} = 90^\circ - \frac{B}{2}$, do đó: $$ \sin\frac{A + C}{2} = \cos\frac{B}{2} \quad \text{và} \quad \cos\frac{A + C}{2} = \sin\frac{B}{2} $$ Do đó (1) trở thành: $$ \cos\frac{B}{2} \cos\frac{A - C}{2} = 2\sin\frac{B}{2} \cos\frac{B}{2} \Leftrightarrow \cos\frac{A - C}{2} = 2\sin\frac{B}{2} \Leftrightarrow \cos\frac{A - C}{2} = 2\cos\frac{A + C}{2} $$ $$ \Leftrightarrow \cos\frac{A}{2} \cos\frac{C}{2} + \sin\frac{A}{2} \sin\frac{C}{2} = 2\cos\frac{A}{2} \cos\frac{C}{2} - 2\sin\frac{A}{2} \sin\frac{C}{2} $$ $$ \Leftrightarrow \cos\frac{A}{2} \cos\frac{C}{2} = 3\sin\frac{A}{2} \sin\frac{C}{2} \Rightarrow \cot\frac{A}{2} \cdot \cot\frac{C}{2} = 3 $$.