Trắc nghiệm · Câu 45
Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh $a, b, c$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
A.
$\tan\frac{A}{2} \cdot \tan\frac{C}{2} = \frac{1}{3}$.
Lời giải
Chọn A
Lời giải
Ta có $a, b, c$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng suy ra:
$$
a + c = 2b \Leftrightarrow 2R\sin A + 2R\sin C = 2R\sin B \Leftrightarrow \sin A + \sin C = 2\sin B
$$
$$
\Leftrightarrow 2\sin\frac{A + C}{2} \cos\frac{A - C}{2} = 4\sin\frac{B}{2} \cos\frac{B}{2} \Leftrightarrow \cos\frac{A - C}{2} = 2\sin\frac{B}{2}
$$
$$
\Leftrightarrow \cos\Big(\frac{A}{2} - \frac{C}{2}\Big) = 2\cos\Big(\frac{A}{2} + \frac{C}{2}\Big)
$$
$$
\Leftrightarrow \cos\frac{A}{2} \cos\frac{C}{2} + \sin\frac{A}{2} \sin\frac{C}{2} = 2\Big(\cos\frac{A}{2} \cos\frac{C}{2} - \sin\frac{A}{2} \sin\frac{C}{2}\Big)
$$
$$
\Leftrightarrow 3\sin\frac{A}{2} \sin\frac{C}{2} = \cos\frac{A}{2} \cos\frac{C}{2} \Leftrightarrow \tan\frac{A}{2} \cdot \tan\frac{C}{2} = \frac{1}{3}.
$$