Trắc nghiệm · Câu 47
Cho $x^2; \ \frac{1}{2}; \ y^2$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Gọi $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \sqrt{3}xy + y^2$. Tính $S = M + m$
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
A.
$1$
Lời giải
Chọn A
Lời giải
Ta có: $x^2; \ \frac{1}{2}; \ y^2$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên $x^2 + y^2 = 1$.
Đặt $x = \sin\alpha$, $y = \cos\alpha$.
$$
P = \sqrt{3}xy + y^2 = \sqrt{3}\sin\alpha \cos\alpha + \cos^2\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\alpha + \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}
$$
$$
\Leftrightarrow 2P - 1 = \sqrt{3}\sin 2\alpha + \cos 2\alpha
$$
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
$$
(2P - 1)^2 \leq (\sqrt{3})^2 + 1^2 \Leftrightarrow (2P - 1)^2 \leq 4 \Leftrightarrow -\frac{1}{2} \leq P \leq \frac{3}{2}
$$
Vậy $M = \frac{3}{2}; \ m = -\frac{1}{2} \Rightarrow S = M + m = 1$.