(Đề Tham Khảo 2025) Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60m và 80m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20m (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?

Lời giải Đặt hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ. Nhận thấy hai phần trồng hoa dạng đường parabol có diện tích như nhau. Vậy ta xét đường parabol ở bồn hoa phía dưới có dạng $(P): y = ax^{2} + bx + c$ với $a \neq 0$. Ta có đồ thị $(P)$ đi qua ba điểm là $O(0;0)$, $I(30;20)$ và $A(60;0)$. Thay vào ta thu được hệ phương trình: $$ \begin{cases} c = 0 \\ 900a + 30b + c = 20 \\ 3600a + 60b + c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = -\frac{1}{45} \\ b = \frac{4}{3} \\ c = 0 \end{cases} $$ Như vậy, phương trình parabol là $y = -\frac{1}{45}x^{2} + \frac{4}{3}x$. Diện tích của phần trồng hoa phía dưới là: $$ S_{hoa} = \int_{0}^{60} \Big(-\frac{1}{45}x^{2} + \frac{4}{3}x\Big) dx = \Big[-\frac{1}{135}x^{3} + \frac{2}{3}x^{2}\Big]_{0}^{60} = 800 \text{ (m}^{2}\text{)} $$ Khi đó, diện tích của phần sân chơi là: $$ S = 60 \cdot 80 - 2 \cdot S_{hoa} = 4800 - 1600 = 3200 \text{ (m}^{2}\text{)} $$