Cho đồ thị hàm số $ \left ( { C } \right ):y=\frac { x ^ { 2 } -x } { x+1 } $ và đường thẳng $ d:y=2 $.

a) Đúng. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $ \left ( { C } \right ):y=\frac { x ^ { 2 } -x } { x+1 } $ và trục hoành $ \,\,\frac { x ^ { 2 } -x } { x+1 }=0\,\,,x\neq -1\,\,\,⇔x ^ { 2 } -x=0⇔\left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=1 \end{array} \right. $ Diện tích hình phẳng $ D $ giới hạn bởi đồ thị hàm số $ \left ( { C } \right ) $, trục tung, trục hoành là $ S_{ 1 } =\int _{ 0 }^{ 1 } { \left | { \frac { x ^ { 2 } -x } { x+1 } } \right | }\,{ \rm{ d } }x=\left | { \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x-2+\frac { 2 } { x+1 } } \right ) }\,{ \rm{ d } }x } \right |=\left | { \left | { \left ( { \frac { 1 } { 2 }x ^ { 2 } -2x+2\ln\left | { x+1 } \right | } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 } } \right |=\frac { 3 } { 2 }-2\ln2 $(đvdt). b) Sai. Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $ \left ( { C } \right ):y=\frac { x ^ { 2 } -x } { x+1 } $ và đường thẳng $ d $: $ \frac { x ^ { 2 } -x } { x+1 }=2\,\,,x\neq -1\,\,\, $ $ ⇔x ^ { 2 } -x=2\left ( { x+1 } \right )⇔x ^ { 2 } -3x-2=0⇔\left[ \begin{array}{l} x=\frac { 3-\sqrt[] { 17 } } { 2 }∉\left[ 1;2 \right] \\ x=\frac { 3+\sqrt[] { 17 } } { 2 }∉\left[ 1;2 \right] \end{array} \right. $ Diện tích hình phẳng $ H $ giới hạn bởi đồ thị hàm số $ \left ( { C } \right ) $, đường thẳng $ d:y=2 $ $ x=1\,,\,x=2 $ là $ S_{ 2 } =\int _{ 1 }^{ 2 } { \left | { \frac { x ^ { 2 } -x } { x+1 }-2 } \right | }\,{ \rm{ d } }x=\left | { \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-4+\frac { 2 } { x+1 } } \right ) }\,{ \rm{ d } }x } \right |=\left | { \left | { \left ( { \frac { 1 } { 2 }x ^ { 2 } -4x+2\ln\left | { x+1 } \right | } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 } } \right |=\frac { 5 } { 2 }-2\ln\frac { 3 } { 2 } $ (đvdt). c) Sai. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $ D $ giới hạn bởi đồ thị hàm số $ \left ( { C } \right ) $, trục tung, trục hoành khi quay quanh trục $ Ox $ là $ V_{ 1 } =\pi \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { x ^ { 2 } -x } { x+1 } } \right ) } ^ { 2 } { \rm{ d } }x=\pi \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x-2+\frac { 2 } { x+1 } } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x=\pi \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 2 } -4x+8-\frac { 12 } { x+1 }+\frac { 4 } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } } } \right ) }\,{ \rm{ d } }x $ $ =\pi \left | { \left ( { \frac { 1 } { 3 }x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } +8x-12\ln\left | { x+1 } \right |-\frac { 4 } { x+1 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\left ( { \frac { 25 } { 3 }-12\ln2 } \right )\pi $(đvdt). d) Đúng. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $ H $ giới hạn bởi đồ thị hàm số $ \left ( { C } \right ) $, đường thẳng $ d $, $ x=0\,,\,\,x=2 $ khi quay quanh trục $ Ox $ là $ V_{ 2 } =\pi \int _{ 1 }^{ 2 } { 2 ^ { 2 } { \rm{ d } }x- }\pi \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \frac { x ^ { 2 } -x } { x+1 } } \right ) } ^ { 2 } { \rm{ d } }x \\ =4\pi -\pi \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-2+\frac { 2 } { x+1 } } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x=4\pi -\pi \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x ^ { 2 } -4x+8-\frac { 12 } { x+1 }+\frac { 4 } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } } } \right )\, }{ \rm{ d } }x $ $ =4\pi -\pi \left | { \left ( { \frac { 1 } { 3 }x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } +8x-12\ln\left | { x+1 } \right |-\frac { 4 } { x+1 } } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 } $ $ =4\pi -\left ( { 5+12\ln\frac { 2 } { 3 } } \right )\pi =\left ( { 12\ln\frac { 3 } { 2 }-1 } \right )\pi $(đvdt).