Cho hàm số $ y=\sqrt[] { x+2 }\,\,\,(x\geq -2) $ và đường thẳng $ y=x $.

a) Đúng. Diện tích cần tìm là $ S_{ D } =\int _{ 0 }^{ 2 } { \left | { \sqrt[] { x+2 } } \right |{ \rm{ d } }x } $ Với $ x\in \left[ 0;2 \right] $thì $ \sqrt[] { x+2 }\geq 0 $ nên $ S_{ D } =\int _{ 0 }^{ 2 } { \left | { \sqrt[] { x+2 } } \right |{ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 2 } { \sqrt[] { x+2 }{ \rm{ } }{ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { x+2 } \right ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } { \rm{ d } }x }=\frac { 2 } { 3 }\left | { \left ( { x+2 } \right ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right ._{ 0 } ^{ 2 }=\frac { 16 } { 3 }-\frac { 4\sqrt[] { 2 } } { 3 }\, $. b) Sai. Diện tích cần tìm là $ S=\int _{ 0 }^{ 2 } { \left | { \sqrt[] { x+2 }-x } \right |{ \rm{ d } }x } $ Ta có $ \sqrt[] { x+2 }-x=0⇔x=2 $ ($ x\geq 0 $) Vậy $ S=\int _{ 0 }^{ 2 } { \left | { \sqrt[] { x+2 }-x } \right |{ \rm{ d } }x }=\left | { \int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { \sqrt[] { x+2 }-x } \right ){ \rm{ d } }x } } \right |=\left | { \int _{ 0 }^{ 2 } { \sqrt[] { x+2 }{ \rm{ } }{ \rm{ d } }x-\int _{ 0 }^{ 2 } { x{ \rm{ d } }x } } } \right |=\left | { \int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { x+2 } \right ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } { \rm{ d } }x }-\int _{ 0 }^{ 2 } { x{ \rm{ d } }x } } \right | =\left | { \frac { 2 } { 3 }\left. { \left ( { x+2 } \right ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right|_{ 0 }^{ 2 }-\left. { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \right|_{ 0 }^{ 2 } } \right |=\frac { 10 } { 3 }-\frac { 4\sqrt[] { 2 } } { 3 } $ (đvdt). c) Sai. Thể tích khối tròn xoay cần tìm là $ V=\pi \int _{ 1 }^{ 3 } { x ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=\pi \left | { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } \right ._{ 1 } ^{ 3 }=\frac { 26 } { 3 }\pi $ (đvtt). d) Đúng. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $ D $ quanh trục $ Ox $ là: $ V=\pi \int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { \sqrt[] { x+2 } } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=6\pi $(đvtt).