Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{x^{2} - 64}{x - 8} & \text{khi } x \neq 8 \\ x + 2a^{2} & \text{khi } x = 8 \end{cases}$. Có bao nhiêu giá trị của tham số $a$ để hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$?

Lời giải Vì $f(x) = \frac{x^{2} - 64}{x - 8}$ khi $x \neq 8$ nên hàm số $f(x)$ liên tục trên các khoảng $(-\infty; 8)$ và $(8; +\infty)$. Ta có: $$ \lim_{x \to 8} f(x) = \lim_{x \to 8} \frac{x^{2} - 64}{x - 8} = \lim_{x \to 8} (x + 8) = 16 $$ Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại $x = 8$, tức là: $$ \lim_{x \to 8} f(x) = f(8) $$ $$ \Leftrightarrow 8 + 2a^{2} = 16 \Leftrightarrow a^{2} = 4 \Leftrightarrow a = \pm 2 $$ Vậy có $2$ giá trị của tham số $a$ thỏa mãn.