Một hộp chứa 10 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Bạn An lấy ngẫu nhiên một lượt 2 viên bi từ hộp, xem màu, rồi đặt lại vào hộp. Nếu trong 2 viên bi An lấy ra có ít nhất một bi màu đỏ thì bạn Bình sẽ lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp; còn nếu trong 2 viên bi An lấy ra không có viên bi nào màu đỏ thì Bình sẽ lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp. Tính xác suất để An lấy được ít nhất 1 viên bi màu đỏ, biết rằng tất cả viên bi hai bạn lấy ra đều có đủ hai màu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Gọi $ A: $ “An lấy ra có ít nhất một bi màu đỏ” $ B: $ “Tất cả viên bi An và Bình lấy ra có đủ hai màu”. Yêu cầu bài toán ta cần tính: $ P(A\|B)=\frac { P(A).P(B\|A) } { P(A).P(B\|A)+P( \bar A).P(B\| \bar A) } $ Tính $ P(B\|A): $ Gọi $ A_{ 1 } : $ “An lấy được 1 bi đỏ và 1 bi xanh”; $ A_{ 2 } : $ “An lấy được hai bi đỏ”. Khi đó: $ A=A_{ 1 } ∪A_{ 2 } . $ $ P(A)=\frac { C_{ 15 } ^{ 2 }-C_{ 5 } ^{ 2 } } { C_{ 15 } ^{ 2 } }=\frac { 19 } { 21 }; $ $ P(A_{ 1 } )=\frac { 10.5 } { C_{ 15 } ^{ 2 } }=\frac { 10 } { 21 }; $ $ P(A_{ 2 } )=\frac { C_{ 10 } ^{ 2 } } { C_{ 15 } ^{ 2 } }=\frac { 3 } { 7 }; $ $ P(B\|A_{ 1 } )=\frac { C_{ 15 } ^{ 2 } } { C_{ 15 } ^{ 2 } }=1; $ $ P(B\|A_{ 2 } )=\frac { C_{ 15 } ^{ 2 }-C_{ 10 } ^{ 2 } } { C_{ 15 } ^{ 2 } }=\frac { 4 } { 7 }. $ Dễ thấy $ A_{ 1 } ∩A_{ 2 } =∅ $ nên $ P(B\|A)=\frac { P(A∩B) } { P(A) }=\frac { P(A_{ 1 } ∩B)+P(A_{ 2 } ∩B) } { P(A) }=\frac { P(A_{ 1 } ).P(B\|A_{ 1 } )+P(A_{ 2 } ).P(B\|A_{ 2 } ) } { P(A) } \\ =\frac { \frac { 10 } { 21 }.1+\frac { 3 } { 7 }.\frac { 4 } { 7 } } { \frac { 19 } { 21 } }=\frac { 106 } { 133 } $ Ta có sơ đồ hình cây Như vậy $ P(A\|B)=\frac { P(A).P(B\|A) } { P(A).P(B\|A)+P( \bar A).P(B\| \bar A) }=\frac { \frac { 19 } { 21 }.\frac { 106 } { 133 } } { \frac { 19 } { 21 }.\frac { 106 } { 133 }+\frac { 2 } { 21 }.\frac { 89 } { 91 } }=\frac { 689 } { 778 }≈0,89. $