Cho cấp số cộng $(u_n)$ biết $u_3 = 15$ và $4S_n = S_{2n}$. Tìm công sai $d$ của cấp số cộng.

Lời giải Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng, ta có: $$ S_n = nu_1 + \frac{n(n-1)d}{2} $$ $$ S_{2n} = 2nu_1 + \frac{2n(2n-1)d}{2} $$ Do $S_{2n} = 4S_n$ nên: $$ 2nu_1 + \frac{2n(2n-1)d}{2} = 4\Big[ nu_1 + \frac{n(n-1)d}{2} \Big] $$ $$ \Leftrightarrow 2nu_1 + n(2n-1)d = 4nu_1 + 2n(n-1)d $$ $$ \Leftrightarrow 2nu_1 + 2n^2d - nd = 4nu_1 + 2n^2d - 2nd $$ $$ \Leftrightarrow -2nu_1 + nd = 0 $$ $$ \Leftrightarrow -2u_1 + d = 0 \quad (1) \text{ (do } n \text{ là số nguyên dương)} $$ Ta lại có: $u_3 = u_1 + 2d = 15 \quad (2)$. Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $$ \begin{cases} -2u_1 + d = 0 \\ u_1 + 2d = 15 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 = 3 \\ d = 6 \end{cases} $$ An tâm vậy công sai là $d = 6$.