Trắc nghiệm · Câu 63
Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có tâm $ O $, $ AB=a $, $ SD $ tạo với mặt đáy một góc $ 30° $, khoảng cách giữa $ AC $ và $ SD $ là :
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
D.
$ \frac { \sqrt[] { 2 } } { 4 }a $
Lời giải
Kẻ $ OK⊥SD $. Có :
$ SO⊥(ABCD)⊃AC⇒\left \{ \begin{array}{l} SO⊥AC \\ BD⊥AC \end{array} \right.⇒AC⊥(SBD)⊃OK⇒AC⊥OK $
Từ đó suy ra $ OK $ là đoạn vuông góc chung của $ AC $ và $ SD $ nên $ d_{ (AC,SD) } =OK $
Vì $ SO⊥(ABCD) $ và $ SD $ tạo với mặt đáy một góc $ 30° $ nên $ \widehat { SDO }=30° $
Mặt khác $ OD=\frac { 1 } { 2 }DB=\frac { 1 } { 2 }\sqrt[] { AD ^ { 2 } +AB ^ { 2 } }=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }a $.
Áp dụng hệ thức lượng vảo tam giác $ ODK( \widehat { D }=90°) $ ta có :
$ OK=OD.sinKDO=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }a.\sin30°=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 4 }a $
Vậy $ d(AC,SD)=OK=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 4 }a $